Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa các điểm trong hình vẽ. Chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a. Tứ giác AFHN là hình chữ nhật

**Chứng minh:**

1. Từ đề bài, H là trung điểm của ED, và qua H kẻ đường vuông góc với AD và AE tại F và N.
2. Vì AF ⊥ AD và AN ⊥ AE, nên góc AHF = góc AHN = 90 độ.
3. Điều này cho thấy AF và NH là các cạnh vuông góc với nhau, với AH là một cạnh chung.
4. Do đó, tứ giác AFHN có 4 góc vuông, nên tứ giác AFHN là hình chữ nhật.

**Kết quả:** Tứ giác AFHN là hình chữ nhật.

---

### b. Tam giác AHE cân tại H

**Chứng minh:**

1. H là trung điểm của ED, do đó HE = HD.
2. Với A là điểm nằm trên đường vuông góc của ED tại H, tức là AH ⊥ ED.
3. Ta có hai đoạn AH = AH (cạnh chung) và HE = HD.
4. Từ đó, ta có điều kiện để khẳng định tam giác AHE là tam giác cân tại H.

**Kết quả:** Tam giác AHE cân tại H.

---

### c. AHEK là hình bình hành

**Chứng minh:**

1. Chúng ta đã biết H là trung điểm của ED.
2. Từ yêu cầu, nếu G là điểm trên đường thẳng AE, thì AK // HE và AE // HK.
3. Vì H là trung điểm của ED, nên ta có:
- HE = AK.
- AE // HK tương tự.
4. Do đó, các cạnh đối diện trong tứ giác AHEK bằng nhau và song song, vì vậy AHEK là hình bình hành.

**Kết quả:** AHEK là hình bình hành.

---

### d. GA // DH

**Chứng minh:**

1. Đường thẳng GA nằm trên AE, và DT vuông góc AD.
2. Từ A đến G theo chiều hướng AE, và DH là vuông góc với AD.
3. Nếu GA // AD (do AE // AD) và DH vuông góc với AD, thì GA // DH.

**Kết quả:** GA // DH.

---

### e. G;A;K thẳng hàng

**Chứng minh:**

1. Để G, A và K thẳng hàng, ta cần xem xét nếu G nằm giữa A và K.
2. V từ trước đã biết G nằm trên đường AE, và K là một điểm trên đường thẳng HK.
3. Nếu AE // HK và G là điểm nối giữa A và các điểm trên đường HK (G nằm giữa A và K theo các hệ số tỷ lệ), thì 3 điểm G, A, K thẳng hàng.

**Kết quả:** G, A, K thẳng hàng.

---

### Tóm tắt:
- a. Tứ giác AFHN là hình chữ nhật.
- b. Tam giác AHE cân tại H.
- c. AHEK là hình bình hành.
- d. GA // DH.
- e. G, A, K thẳng hàng.

Nếu có bất kỳ điều chỉnh nào về điều kiện hoặc hình vẽ, xin vui lòng cung cấp thêm thông tin.