Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(A \cap B \neq \emptyset\) và sau đó tính tổng \(a + b\).

### Bước 1: Xác định tập hợp \(B\)

Tập hợp \(B\) được định nghĩa là:
\[ B = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x - 1 \leq 5 \} \]

Giải bất phương trình này:
\[ a \leq x - 1 \leq 5 \]

Thay đổi biến để tìm khoảng giá trị của \(x\):
\[
a \leq x - 1 \leq 5 \implies a + 1 \leq x \leq 6
\]

Vậy tập hợp \(B\) là:
\[ B = \{ x \mid a + 1 \leq x \leq 6 \} \]

### Bước 2: Xác định tập hợp \(A\)

Tập hợp \(A\) được định nghĩa là:
\[ A = (m; m + 2] \]

### Bước 3: Tìm giao của \(A\) và \(B\)

Để \(A \cap B \neq \emptyset\), giao của hai tập hợp phải có ít nhất một phần tử chung.

Tập hợp \(A\) có dạng \( (m, m + 2] \) và tập hợp \(B\) có dạng \([a + 1, 6]\).

Giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) sẽ có dạng:
\[ A \cap B = (m, m + 2] \cap [a + 1, 6] \]

### Bước 4: Điều kiện để \(A \cap B \neq \emptyset\)

Để giao không rỗng, hai khoảng phải có một phần giao nhau. Có hai điều kiện cần phải thỏa mãn:
1. Phần bắt đầu của giao phải nhỏ hơn hoặc bằng phần kết thúc của giao:
\[
\max(m, a + 1) < \min(m + 2, 6)
\]

2. Thay đổi điều kiện:
\[
\max(m, a + 1) < \min(m + 2, 6)
\]

- Từ điều kiện này:
- \(m < 6\) và \(a + 1 < m + 2\)
- \(m \geq a + 1\) và \(m + 2 \geq a + 1\)
- \(m < 6\) và \(m \geq a + 1\)

### Bước 5: Tìm giá trị \(a\) và \(b\)

- Để \(A \cap B \neq \emptyset\):
- Số lượng giá trị nằm trong khoảng từ \(\max(m, a + 1)\) đến \(\min(m + 2, 6)\) là không rỗng.
- Tính tổng \(a + b\) cho trường hợp \(m\) và \(a\) sao cho điều kiện trên được thỏa mãn.

- Giải cụ thể:
- Chọn các giá trị mẫu:
- Ví dụ với \(m = 4\), \(a = 3\):
\[
A = (4, 6]
\]
\[
B = [4, 6]
\]
- Ta thấy giao \(A \cap B = [4, 6]\) không rỗng.

- Nếu \(m = 4\) và \(a = 3\), thỏa mãn yêu cầu, vì vậy:
\[
a + b = 4 + 3 = 7
\]

### Kết luận

Tổng \(a + b\) là 7.