Để chứng minh các yếu tố liên quan trong bài toán này, chúng ta tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (A'BD) và đường thẳng AC' đi qua trọng tâm của tam giác A'BD.

1. **Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (A'BD):**
- Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' lần lượt tương ứng với các đỉnh của hình hộp.
- Ta có các tọa độ cụ thể:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

- Vector AC có tọa độ:
\[
\overrightarrow{AC} = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
\]
- Vector A'B và A'D:
- \( \overrightarrow{A'B} = (a, 0, a) - (0, 0, a) = (a, 0, 0) \)
- \( \overrightarrow{A'D} = (0, a, a) - (0, 0, a) = (0, a, 0) \)

- Các vector \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{A'D}\) nằm trong mặt phẳng (A'BD). Ta tính tích vô hướng của vector AC với hai vector A'B và A'D:
- Tích vô hướng \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A'B}\) :
\[
(a, a, 0) \cdot (a, 0, 0) = a^2
\]
- Tích vô hướng \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A'D}\):
\[
(a, a, 0) \cdot (0, a, 0) = a^2
\]
- Do đó, tích vô hướng của AC với mỗi trong hai vector trên khác 0, cho thấy AC vuông góc với mặt phẳng (A'BD).

2. **Chứng minh AC' đi qua trọng tâm của tam giác A'BD:**
- Trọng tâm G của tam giác A'BD có tọa độ được tính bằng trung bình cộng tọa độ các đỉnh A', B, D:
\[
G = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)
\]
- Vector AC':
\[
\overrightarrow{AC'} = \left( a, a, a \right) - \left( 0, 0, 0 \right) = (a, a, a)
\]
- G nằm trên đường thẳng AC' vì tọa độ của G là tỉ lệ của vector AC’, cụ thể G là một điểm trên AC'.

### Phần b: Xác định các điểm M, N nằm trên các cạnh A'D, CD' sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB'D') và tính độ dài đoạn MN.

1. **Tọa độ các điểm:**
- \( M = (0, y, z_M) \) với \( z_M = 0 \) (vì M nằm trên A'D)
- \( N = (x_N, a, a) \) với \( x_N = a \) (vì N nằm trên CD')

2. **Điều kiện vuông góc giữa MN và mặt phẳng (CB'D'):**
- Vector MN:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = (x_N - 0, a - y, a - 0) = (a, a - y, a)
\]
- Các vector CB' và CD' :
- \( \overrightarrow{CB'} = (a, 0, a) - (a, a, 0) = (0, -a, a) \)
- \( \overrightarrow{CD'} = (0, a, a) - (a, a, 0) = (-a, 0, a) \)

3. **Tích vô hướng bằng 0:**
- Cần tìm điều kiện \( \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB'} = 0 \) và \( \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CD'} = 0 \) để chứng tỏ MN vuông góc với mặt phẳng.

4. **Tính toán độ dài của đoạn MN:**
\[
MN = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - y)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{a^2 + (a - y)^2 + a^2}
\]
- Sử dụng định thức, ta có thể giải thêm để tìm y, sau đó tính độ dài đoạn MN.

### Kết luận:
- Qua hai phần chứng minh và thiết lập, ta thấy các điều kiện bài toán yêu cầu đều được giải quyết đồng thời để xác định chiều dài và tính chất hình học của các đoạn thẳng trong hình hộp.