a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng \( (MEB') \)

Các điểm giao là:
- Giao của mặt phẳng \( (MEB') \) với các cạnh \( AA', BB', CC' \) của lăng trụ sẽ tạo ra tứ giác là thiết diện.

 b. Tính tỷ số \( \frac{AK}{AA'} \)

Điểm \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( AA' \) với mặt phẳng \( (MEB') \).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABA' \) và mặt phẳng \( (MEB') \) cắt các cạnh:

- Giao điểm của mặt phẳng với cạnh \( AB \) là \( M \).
- Giao điểm của mặt phẳng với cạnh \( AA' \) là \( K \).
- Giao điểm của mặt phẳng với cạnh \( A'B' \) là \( B' \).

Chúng ta có:
\[
\frac{AK}{KA'} = \frac{AM}{MB} \cdot \frac{B'E}{EA}
\]

- \( AM = \frac{1}{2} AB \) (theo giả thiết)
- \( MB = \frac{1}{2} AB \)
- \( B'E = \frac{1}{2} B'A' \) (vì \( E \) là trung điểm của \( AC \))

Từ đó, ta có:
\[
\frac{AK}{KA'} = \frac{1/2}{1/2} = 1
\]

Do đó:
\[
\frac{AK}{AA'} = \frac{1}{2}
\]

 c. Xác định giao tuyến của mặt phẳng \( (MEB') \) và \( (A'B'C') \)

Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \( B'M_2 \), với \( M_2 \) là giao điểm của \( MEB' \) và \( C'B' \).

d. Tính tỷ số \( \frac{CD}{CB} \)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BCB' \) và mặt phẳng \( (MEB') \) cắt các cạnh:
\[
\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BM}{MA} \cdot \frac{A'E}{EA} = 1
\]

Trong đó:
- \( BM = \frac{1}{2} AB \)
- \( MA = \frac{1}{2} AB \)
- \( EA = \frac{1}{2} AC \)

Chúng ta có:
\[
\frac{CD}{CB} = \frac{DB}{CB} = 1 - \frac{CD}{CB}
\]

...Xem thêm