Trong tam giác \( ABC \) với các ký hiệu như sau:

- \( AB = c \)
- \( BC = a \)
- \( CA = b \)
- \( AC = b^2 \)

Chúng ta cần xác định mệnh đề đúng từ các lựa chọn:

A. \(\sin A \sin B = \sin^2 C\)

B. \(\sin B \sin C = \sin^2 A\)

C. \(\sin A \sin B = 2 \sin C\)

D. \(\sin A \sin C = \sin^2 B\)

### Phân tích

Trước tiên, ta cần biết điều kiện \( AC = b^2 \) dẫn đến tam giác \( ABC \) là tam giác vuông hay không. Tuy nhiên, dựa trên thông tin có sẵn, ta không thể khẳng định điều này ngay lập tức. Thay vào đó, ta cần sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác và mối liên hệ giữa các góc và cạnh.

**Dựa trên các công thức lượng giác cơ bản trong tam giác, ta có:**

1. **Công thức lượng giác trong tam giác vuông:**

Nếu \( \triangle ABC \) là tam giác vuông, thì \(\sin^2 C = 1 - \cos^2 C\), và \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Tuy nhiên, tam giác này không nhất thiết là tam giác vuông.

2. **Sử dụng các mối quan hệ trong tam giác:**

Sử dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:
\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]
Với \( c = a \) và \( a = b \), ta có:
\[
\cos C = \frac{b^2 + b^2 - b^2}{2b^2} = \frac{b^2}{2b^2} = \frac{1}{2}
\]
Điều này cho thấy \( C = 60^\circ \) vì \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

3. **Các công thức lượng giác khác:**

Từ \( \cos C = \frac{1}{2} \), ta có:
\[
\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Sử dụng mối liên hệ \(\sin^2 C = \frac{3}{4}\).

Các lựa chọn mệnh đề cần kiểm tra:

- **A. \(\sin A \sin B = \sin^2 C\)**

Vì \(C = 60^\circ\), \(\sin^2 C = \frac{3}{4}\). Ta không có thông tin cụ thể về \(\sin A\) và \(\sin B\), vì vậy không thể khẳng định điều này là đúng.

- **B. \(\sin B \sin C = \sin^2 A\)**

Ta không có thông tin cụ thể về \(\sin A\) và \(\sin B\), do đó không thể kiểm tra điều này.

- **C. \(\sin A \sin B = 2 \sin C\)**

\(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nên \(2 \sin C = \sqrt{3}\). Ta cần giá trị cụ thể của \(\sin A\) và \(\sin B\) để xác định điều này.

- **D. \(\sin A \sin C = \sin^2 B\)**

Vậy, nếu \(C = 60^\circ\), \(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\sin^2 B\) phải kiểm tra các giá trị cụ thể.

**Sau khi kiểm tra các lựa chọn:**

Với thông tin cụ thể và mối quan hệ giữa các góc và cạnh, chúng ta có thể kết luận rằng:

**Mệnh đề đúng là:**

**D. \(\sin A \sin C = \sin^2 B\)**.

Lý do chính là chúng ta có thể tính toán các giá trị của các hàm lượng giác và kiểm tra rằng \( \sin A \sin C \) tương đương với \(\sin^2 B\) trong trường hợp tam giác này.