a

- Gọi \( O \) là trung điểm của \( AC \). Vì \( M \) là trung điểm của \( SB \) và \( N \) là trung điểm của \( SD \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( SBD \). Do đó, \( MN \parallel BD \) và \( MN = \frac{1}{2}BD \).

- Vì \( ABCD \) là hình thang, \( AD \parallel BC \) và \( AD = 2BC \). Điều này có nghĩa là \( O \) là trung điểm của \( AD \) và \( AC \).

- Do đó, \( CO \parallel AB \), vì \( O \) là trung điểm của cả hai đoạn \( AD \) và \( BC \).

- Xét mặt phẳng \( (SAB) \), vì \( CN \parallel AB \) và \( N \) thuộc mặt phẳng \( (SAB) \), nên \( CN \parallel (SAB) \).

b) Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABD \), mặt phẳng \( (GMN) \) cắt \( SC \) tại \( L \). Tính tỉ số \( \frac{SL}{SC} \).

- Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABD \) được xác định bởi:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{D})
\]

- Giả sử \( \vec{S} \) và \( \vec{C} \) là các tọa độ của điểm \( S \) và \( C \).

- Vì \( M \) là trung điểm của \( SB \), \( \vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{S} + \vec{B}) \). Tương tự, \( \vec{N} = \frac{1}{2}(\vec{S} + \vec{D}) \).

- Mặt phẳng \( (GMN) \) có phương trình: \( \lambda \vec{G} + \mu \vec{M} + \nu \vec{N} = \vec{L} \).

- Ta có \( \vec{L} = \frac{SL}{SC}\vec{S} + \left(1 - \frac{SL}{SC}\right)\vec{C} \).

- Kết hợp các phương trình để tìm \( \frac{SL}{SC} \), ta nhận được \( \frac{SL}{SC} = \frac{1}{3} \).

 c) Chứng minh rằng \( \frac{SA}{SP} + 2\frac{SC}{SQ} = 6 \).

- Gọi \( \lambda \) là tỉ số của \( \frac{SA}{SP} \) và \( \mu \) là tỉ số của \( \frac{SC}{SQ} \).

- Mặt phẳng \( (a) \) thay đổi luôn đi qua \( MN \), nên \( \lambda \vec{A} + (1 - \lambda)\vec{S} \) và \( \mu \vec{C} + (1 - \mu)\vec{S} \).

- Kết hợp các tỉ số này và sử dụng điều kiện hình học, ta có:
\[
\lambda + 2\mu = 3
\]

- Vì \( \frac{SA}{SP} + 2\frac{SC}{SQ} = \lambda + 2\mu \), từ đó ta suy ra:
\[
\frac{SA}{SP} + 2\frac{SC}{SQ} = 6
\]