Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \(6^{2023} + 1\) và \(2^{6066} - 1\) đều chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lý đồng dư trong số học.

### 1. Chứng minh rằng \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7

**a. Tính toán \(6^n \mod 7\)**

Ta bắt đầu bằng cách tính các số mũ của 6 modulo 7.

- \(6^1 \mod 7 = 6\)
- \(6^2 \mod 7 = 36 \mod 7 = 1\)
- \(6^3 \mod 7 = (6^2 \cdot 6) \mod 7 = 1 \cdot 6 \mod 7 = 6\)
- \(6^4 \mod 7 = (6^3 \cdot 6) \mod 7 = 6 \cdot 6 \mod 7 = 36 \mod 7 = 1\)

Như vậy, ta thấy rằng \(6^n \mod 7\) lặp lại theo chu kỳ 2, với \(6^n \mod 7 = 6\) nếu \(n\) lẻ và \(6^n \mod 7 = 1\) nếu \(n\) chẵn.

**b. Áp dụng chu kỳ**

Vì \(2023\) là một số lẻ, ta có:
\[
6^{2023} \mod 7 = 6
\]

Do đó:
\[
6^{2023} + 1 \mod 7 = 6 + 1 \mod 7 = 7 \mod 7 = 0
\]

Điều này chứng tỏ \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7.

### 2. Chứng minh rằng \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7

**a. Tính toán \(2^n \mod 7\)**

Ta bắt đầu bằng cách tính các số mũ của 2 modulo 7.

- \(2^1 \mod 7 = 2\)
- \(2^2 \mod 7 = 4\)
- \(2^3 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1\)
- \(2^4 \mod 7 = (2^3 \cdot 2) \mod 7 = 1 \cdot 2 \mod 7 = 2\)
- \(2^5 \mod 7 = (2^4 \cdot 2) \mod 7 = 2 \cdot 2 \mod 7 = 4\)
- \(2^6 \mod 7 = (2^5 \cdot 2) \mod 7 = 4 \cdot 2 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1\)

Như vậy, ta thấy rằng \(2^n \mod 7\) lặp lại theo chu kỳ 3, với \(2^n \mod 7 = 1\) nếu \(n\) chia hết cho 3.

**b. Áp dụng chu kỳ**

Vì \(6066\) chia hết cho 3 (\(6066 \mod 3 = 0\)), ta có:
\[
2^{6066} \mod 7 = 1
\]

Do đó:
\[
2^{6066} - 1 \mod 7 = 1 - 1 \mod 7 = 0
\]

Điều này chứng tỏ \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7.

### Kết luận

- \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7.
- \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7.

Đây là các chứng minh cho bài toán.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng \(6^{2023} + 1\) và \(2^{6066} - 1\) đều chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lý đồng dư trong số học.

### 1. Chứng minh rằng \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7

**a. Tính toán \(6^n \mod 7\)**

Ta bắt đầu bằng cách tính các số mũ của 6 modulo 7.

- \(6^1 \mod 7 = 6\)
- \(6^2 \mod 7 = 36 \mod 7 = 1\)
- \(6^3 \mod 7 = (6^2 \cdot 6) \mod 7 = 1 \cdot 6 \mod 7 = 6\)
- \(6^4 \mod 7 = (6^3 \cdot 6) \mod 7 = 6 \cdot 6 \mod 7 = 36 \mod 7 = 1\)

Như vậy, ta thấy rằng \(6^n \mod 7\) lặp lại theo chu kỳ 2, với \(6^n \mod 7 = 6\) nếu \(n\) lẻ và \(6^n \mod 7 = 1\) nếu \(n\) chẵn.

**b. Áp dụng chu kỳ**

Vì \(2023\) là một số lẻ, ta có:
\[
6^{2023} \mod 7 = 6
\]

Do đó:
\[
6^{2023} + 1 \mod 7 = 6 + 1 \mod 7 = 7 \mod 7 = 0
\]

Điều này chứng tỏ \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7.

### 2. Chứng minh rằng \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7

**a. Tính toán \(2^n \mod 7\)**

Ta bắt đầu bằng cách tính các số mũ của 2 modulo 7.

- \(2^1 \mod 7 = 2\)
- \(2^2 \mod 7 = 4\)
- \(2^3 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1\)
- \(2^4 \mod 7 = (2^3 \cdot 2) \mod 7 = 1 \cdot 2 \mod 7 = 2\)
- \(2^5 \mod 7 = (2^4 \cdot 2) \mod 7 = 2 \cdot 2 \mod 7 = 4\)
- \(2^6 \mod 7 = (2^5 \cdot 2) \mod 7 = 4 \cdot 2 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1\)

Như vậy, ta thấy rằng \(2^n \mod 7\) lặp lại theo chu kỳ 3, với \(2^n \mod 7 = 1\) nếu \(n\) chia hết cho 3.

**b. Áp dụng chu kỳ**

Vì \(6066\) chia hết cho 3 (\(6066 \mod 3 = 0\)), ta có:
\[
2^{6066} \mod 7 = 1
\]

Do đó:
\[
2^{6066} - 1 \mod 7 = 1 - 1 \mod 7 = 0
\]

Điều này chứng tỏ \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7.

### Kết luận

- \(6^{2023} + 1\) chia hết cho 7.
- \(2^{6066} - 1\) chia hết cho 7.

Đây là các chứng minh cho bài toán.

1 câu trả lời 246

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7