Để chứng minh rằng \( xyz \) chia hết cho 30 với điều kiện \( x, y, z \in \mathbb{Z} \) và \( x^2 + y^2 = z^2 \), ta sẽ chỉ ra rằng \( x, y, z \) phải chia hết cho 2, 3, và 5.

### Chứng minh \( x, y, z \) chia hết cho 2

1. **Nếu \( x \) và \( y \) đều chẵn:**

- \( x = 2a \) và \( y = 2b \), từ đó:
\[
x^2 + y^2 = (2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)
\]
- \( z^2 = 4(a^2 + b^2) \implies z = 2c \), với \( c^2 = a^2 + b^2 \).
- Do đó, \( z \) cũng phải chẵn.

2. **Nếu một trong \( x \) và \( y \) là lẻ và cái còn lại là chẵn:**

- Xét \( x \) là lẻ và \( y \) là chẵn, ta có:
\[
x^2 \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{và} \quad y^2 \equiv 0 \pmod{4}
\]
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 \pmod{4} \) nhưng \( z^2 \) có thể là 0 hoặc 1 modulo 4.
- \( z^2 \equiv 1 \pmod{4} \) thì \( z \) phải là lẻ.

Như vậy, ít nhất một trong \( x, y, z \) phải chia hết cho 2.

### Chứng minh \( x, y, z \) chia hết cho 3

- Nếu \( x^2 + y^2 = z^2 \), ta phân tích modulo 3:
- Có ba trường hợp cho một số nguyên modulo 3: 0, 1, hoặc 2.
- Tính \( x^2 \mod 3 \) và \( y^2 \mod 3 \) đều có thể là 0 hoặc 1. Do đó, không thể có \( x^2 + y^2 \equiv 2 \pmod{3} \).

Nếu \( x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod{3} \) thì ít nhất một trong \( x \) hoặc \( y \) phải chia hết cho 3. Nếu \( x \) và \( y \) đều không chia hết cho 3, thì \( z^2 \equiv 1 \pmod{3} \), không hợp lệ. Do đó, ít nhất một trong \( x, y, z \) phải chia hết cho 3.

### Chứng minh \( x, y, z \) chia hết cho 5

- Tương tự, ta phân tích modulo 5:
- Các số bình phương modulo 5 có thể là 0, 1, hoặc 4.
- Không thể có \( x^2 + y^2 \equiv 2 \text{ hoặc } 3 \pmod{5} \).

Nếu \( x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod{5} \) thì ít nhất một trong \( x \) hoặc \( y \) phải chia hết cho 5. Nếu không, \( z^2 \equiv 1 \text{ hoặc } 4 \pmod{5} \), không hợp lệ. Do đó, ít nhất một trong \( x, y, z \) phải chia hết cho 5.

### Kết luận

Vì \( x, y, z \) chia hết cho 2, 3 và 5, do đó \( xyz \) chia hết cho \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \).