Để giải bài toán về hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

**Chứng minh tính chất của EBFD:**
- Gọi \(E\ là trung điểm của \(AD\) và \(F\) là trung điểm của \(BC\).
- Gọi các vector vị trí:
- \( \vec{A} = \vec{a} \)
- \( \vec{B} = \vec{b} \)
- \( \vec{C} = \vec{c} \)
- \( \vec{D} = \vec{d} \)

**Áp dụng định nghĩa trung điểm:**
- Từ định nghĩa, ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}
\]
\[
\vec{F} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}
\]

**Chứng minh các cạnh đối diện của tứ giác EBFD song song và bằng nhau:**
- Chúng ta cần chứng minh rằng \( \vec{EB} = \vec{DF} \) và \( \vec{EF} = \vec{BD} \).

- Tính vector \( \vec{EB} \):
\[
\vec{EB} = \vec{B} - \vec{E} = \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \vec{b} - \frac{\vec{a}}{2} - \frac{\vec{d}}{2}
\]

- Tính vector \( \vec{DF} \):
\[
\vec{DF} = \vec{F} - \vec{D} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{d} = \frac{\vec{b}}{2} + \frac{\vec{c}}{2} - \vec{d}
\]

- Chúng ta biết rằng trong hình bình hành, \( \vec{b} - \vec{d} = \vec{c} - \vec{a} \). Do đó, ta có thể thay thế:
\[
\vec{EB} + \vec{DF} = \text{bằng nhau} \Rightarrow EB \parallel DF
\]

- Tương tự chúng ta có thể chứng minh rằng:
\[
\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{(\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{d})}{2}
\]
Và do đó \(EF \parallel BD\).

- Kết quả là \(EBFD\) là hình bình hành, vì cả hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và song song.

### b) Các đường thẳng EF, DB và AC đồng quy.

**Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng quy:**
- Ta có tiếng huống giao nhau của ba đường thẳng. Từ tính chất hình bình hành, \(DB\) đi qua hai điểm \(D\) và \(B\), và \(AC\) đi qua hai điểm \(A\) và \(C\).

- Ta sẽ sử dụng tỷ lệ đoạn để chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng:

Với tỉ lệ tại các điểm \(E\) và \(F\):
\[
\frac{AE}{ED} = 1 \; (Vì E là trung điểm)
\]
\[
\frac{BF}{FC} = 1 \; (Vì F là trung điểm)
\]

- Từ teo của Menelaus, đường thẳng EF sẽ cắt Đường chéo AC và DB. Do đó là đồng quy.

### c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EBFD là hình thoi.

**Điều kiện để tứ giác EBFD là hình thoi:**
- Tứ giác EBFD sẽ là hình thoi nếu \(EB = EF\).

- Để tứ giác EBFD là hình thoi cần có:
\[
|EB| = |EF|
\]

- Từ đó, điều kiện hình bình hành ABCD là \(AD = BC\) hoặc \(AB = CD\). Chúng ta cũng có thể đưa ra thêm điều kiện rằng các cạnh are đồng nhất với nhau, hoặc có một góc vuông nào đó tại \(D\) hoặc \(B\).

Kết luận: Tứ giác EBFD là hình thoi khi \(AD = BC\) hoặc \(AB = CD\).