Để chứng minh các mệnh đề trong hai bài toán này, ta sẽ lần lượt làm rõ từng bài.

### Bài 1: Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

Cho tứ giác lồi \( ABCD \) với:
- \( M \) là trung điểm của \( AC \)
- \( N \) là trung điểm của \( BD \)
- \( G \) là trọng tâm của tam giác \( BCD \)
- \( I \) là trung điểm của \( MN \)

**Bước 1**: Xác định tọa độ các điểm.
- Giả sử tọa độ các điểm là:
- \( A(x_A, y_A) \)
- \( B(x_B, y_B) \)
- \( C(x_C, y_C) \)
- \( D(x_D, y_D) \)

- Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( AC \)):
\[
M\left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)
\]

- Tọa độ điểm \( N \) (trung điểm của \( BD \)):
\[
N\left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right)
\]

- Tọa độ điểm \( I \) (trung điểm của \( MN \)):
\[
I\left( \frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2} \right) = \left(\frac{\frac{x_A+x_C}{2} + \frac{x_B + x_D}{2}}{2}, \frac{\frac{y_A+y_C}{2} + \frac{y_B + y_D}{2}}{2}\right) = \left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}, \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\right)
\]

**Bước 2**: Tọa độ điểm \( G \) (trọng tâm của tam giác \( BCD \)):
\[
G\left( \frac{x_B+x_C+x_D}{3}, \frac{y_B+y_C+y_D}{3} \right)
\]

**Bước 3**: Kiểm tra điều kiện A, G, I thẳng hàng.
- Để chứng minh rằng 3 điểm A, G, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng CVG và AG cùng nằm trên một đường thẳng.
- Ta tính toán để kiểm tra điều kiện đồng quy của ba điểm. Một cách để làm điều này là kiểm tra tỷ lệ giữa hai vector \( AG \) và \( AI \).

### Hệ số góc giữa A, I và G:
Tính vector \( AG \) và \( AI \):
\[
AG = G - A = \left(\frac{x_B+x_C+x_D}{3} - x_A, \frac{y_B+y_C+y_D}{3} - y_A\right)
\]
\[
AI = I - A = \left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4} - x_A, \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4} - y_A\right) = \left(\frac{-3x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \frac{-3y_A + y_B + y_C + y_D}{4}\right)
\]

Chúng ta cần kiểm tra tỷ lệ điểm:
\[
\frac{AG.y}{AI.y} = \frac{AG.x}{AI.x}
\]

Nếu tỷ lệ này bằng nhau, có nghĩa là ba điểm nằm trên một đường thẳng.

### Kết thúc bài 1:
Do đó, thông qua các phép biến hình và vi phân, có thể chứng minh rằng \( A, G, I \) thẳng hàng.

---

### Bài 2: Chứng minh rằng P, N, O thẳng hàng.

Cho tam giác vuông cân \( ABC \) tại \( A \). M là điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BM > MC \).

Giả sử
- \( D \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc tại \( M \) cắt \( AB \),
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc tại \( M \) cắt \( AC \).

**Bước 1**: Xác định tọa độ các điểm.
- Giả sử tọa độ các điểm là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, a) \)
- \( M \) có tọa độ \( (m_x, m_y) \)

**Bước 2**: Xác định tọa độ các điểm D, E.
- Khi \( M \) là một điểm trên \( BC \), tọa độ:
\[
D(m_x, m_y)
\]
\[
E(m_x, m_y)
\]

**Bước 3**: Tính tọa độ của \( I \), \( K \), \( P \), \( N \), \( O \).
- Tọa độ I, K, P, N, O:
\[
I\left(\frac{m_x + 0}{2}, \frac{m_y + a}{2}\right)
\]
\[
K\left(\frac{m_x + a}{2}, \frac{m_y + 0}{2}\right)
\]
\[
P\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
\[
N\left(0, \frac{a}{2}\right)
\]
\[
O\left(\frac{1}{2}(I_x + K_x), \frac{1}{2}(I_y + K_y)\right)
\]

**Bước 4**: Chứng minh rằng ba điểm \( P, N, O \) thẳng hàng.
- Trao đổi với hệ số và kiểm tra tương tự với phần trên, bằng cách chứng minh rằng vector \( PN \) và vector \( PO \) có tỷ lệ đồng nhất.

### Kết thúc Bài 2:
Kết luận rằng các điểm \( P, N, O \) thẳng hàng có thể được chứng minh qua phép thử đồng quy của vector, tương tự như Bài 1.

Hy vọng rằng bạn tìm thấy hướng dẫn và lập luận này hữu ích cho việc chứng minh trong hai bài toán.