Để giải các phương trình lượng giác dưới đây, ta sử dụng các công thức và biến đổi lượng giác phù hợp. Dưới đây là chi tiết giải cho từng phương trình:

### a. Giải phương trình \( 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \)

1. Đặt \( \sin x = t \). Phương trình trở thành:
\[
2t^2 - t - 1 = 0
\]

2. Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 2 \), \( b = -1 \), và \( c = -1 \):
\[
t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}
\]
\[
t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}
\]
\[
t = \frac{1 \pm 3}{4}
\]

3. Tìm các nghiệm:
\[
t = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{và} \quad t = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Do đó:
\[
\sin x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = -\frac{1}{2}
\]

4. Tìm các giá trị \( x \):
- Với \( \sin x = 1 \):
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]
- Với \( \sin x = -\frac{1}{2} \):
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ hoặc } x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]

### b. Giải phương trình \( 2 \cos^2 x + 7 \cos x - 4 = 0 \)

1. Đặt \( \cos x = t \). Phương trình trở thành:
\[
2t^2 + 7t - 4 = 0
\]

2. Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 2 \), \( b = 7 \), và \( c = -4 \):
\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm 9}{4}
\]

3. Tìm các nghiệm:
\[
t = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad t = \frac{-7 - 9}{4} = -4
\]

Do đó:
\[
\cos x = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad \cos x = -4
\]

Chú ý rằng \( \cos x = -4 \) không phải là nghiệm vì \( \cos x \) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

4. Tìm các giá trị \( x \) với \( \cos x = \frac{1}{2} \):
\[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]

### c. Giải phương trình \( \cos 2x + \sin x = 1 \)

1. Sử dụng công thức biến đổi lượng giác: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

Thay vào phương trình:
\[
1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1
\]
\[
-2\sin^2 x + \sin x = 0
\]
\[
\sin x (-2\sin x + 1) = 0
\]

2. Tìm nghiệm:
\[
\sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad -2\sin x + 1 = 0
\]
\[
\sin x = \frac{1}{2}
\]

- Với \( \sin x = 0 \):
\[
x = k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]
- Với \( \sin x = \frac{1}{2} \):
\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]

### d. Giải phương trình \( \frac{1}{\cos^2 x} + 2 \tan x = 0 \)

1. Sử dụng công thức lượng giác: \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \).

Thay vào phương trình:
\[
1 + \tan^2 x + 2 \tan x = 0
\]
Đặt \( \tan x = t \):
\[
1 + t^2 + 2t = 0
\]
\[
t^2 + 2t + 1 = 0
\]
\[
(t + 1)^2 = 0
\]
\[
t = -1
\]

2. Tìm giá trị \( x \) với \( \tan x = -1 \):
\[
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \text{ (với } k \text{ là số nguyên)}
\]

**Kết luận:**

a. \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \)

b. \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \)

c. \( x = k\pi \) hoặc \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

d. \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \)