a) Phương trình x² + y² + z² + 5x – 7y + z – 1 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với \(a = - \frac{5}{2};b = \frac{7}{2};c = - \frac{1}{2};d = - 1\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm \(I\left( { - \frac{5}{2};\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình x² + y² + z² + 4x + 6y – 2z + 100 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −2; b = −3; c = 1 và d = 100.

Có a² + b² + c² – d = 4 + 9 + 1 – 100 = −86 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình x² + y² + z² – x – y – z + \(\frac{1}{2}\) = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{2}\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{1}{2}\).