a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.

Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_3}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_3}} \) không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.

b) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\\t + 3t' = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right.\). Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d' cắt nhau.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t'' = 1\\3t - t'' = - 4\\t + 3t'' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\\ - 1 + 3 = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.