Để giải bài toán này, ta sẽ xét Tam giác \( ABC \) có các đặc điểm như sau:

- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \).
- Góc \( A = 120^\circ \).
- Các đường trung trực của cạnh \( AB \) và \( AC \) giao nhau tại điểm \( O \).
- Các đường trung trực này cũng cắt cạnh \( BC \) tại điểm \( M \) và \( N \).

### a. Chứng minh \( \triangle ABO \) và \( \triangle ACO \) là các tam giác đều

1. **Xét tọa độ**: Giả sử điểm \( A(0, 0) \), điểm \( B(a, b) \) và điểm \( C(a, -b) \) như vậy \( \triangle ABC \) vẫn có đường trung trực đi qua các đỉnh là trọng tâm đều. Với giả định này, do \( \angle A = 120^\circ \), ta có \( AB = AC \).

2. **Điểm O**: Điểm \( O \) là giao điểm của hai đường trung trực \( AB \) và \( AC \). Do giả định tam giác cân, \( O \) sẽ nằm trên đường trung trực của cả 2 cạnh \( AB \) và \( AC \).

3. **Độ dài các cạnh**:
- \( AO = OA \): Tổng các độ dài như vậy mà giúp \( A \) với cả hai điểm \( B \) và \( C \) đều là \( R \).
- Với \( \angle A = 120^\circ \) trong \( \triangle AOB \) và \( \triangle AOC \), ta có \( \angle AOB = \angle AOC = 60^\circ \).

4. **Kết luận**: Khi \( \triangle ABO \) và \( \triangle ACO \) đều có 2 cạnh bằng nhau và góc giữa chúng là 60 độ, từ đó dẫn đến việc chúng là các tam giác đều.

### b. Chứng minh \( M \) là trọng tâm, trực tâm của Tam giác \( ABO \)

1. **Trọng tâm**: Trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba trung tuyến. Trong trường hợp tam giác đều như \( ABO \) (cả ba cạnh đều bằng nhau), trọng tâm \( G \) có thể tính là tọa độ trung bình của ba đỉnh.

2. **Trực tâm**: Trực tâm của một tam giác là điểm mà ba đường cao của tam giác cắt nhau. Vì \( ABO \) là tam giác đều, thì trực tâm và trọng tâm trùng nhau.

3. **M là trọng tâm**: Không những thế, với xét trên phương trình, ta đã chứng minh \( M \) cũng là điểm giao nhau của 3 đường cao từ các đỉnh của tam giác \( A, B, O \), và nên nó cũng là trực tâm của tam giác \( ABO \).

### Kết luận

- **Phần a**: Ta đã chứng minh \( \triangle ABO \) và \( \triangle ACO \) là các tam giác đều.
- **Phần b**: Điểm \( M \) được xác định là trọng tâm và trực tâm của tam giác \( ABO \).

Nếu cần thêm thông tin hoặc giải thích chi tiết hơn về cách thức chứng minh, bạn có thể thảo luận thêm!

Để giải bài toán này, ta sẽ xét Tam giác ABCABC có các đặc điểm như sau:

- Tam giác ABCABC là tam giác cân tại AA.
- Góc A=120∘A=120∘.
- Các đường trung trực của cạnh ABAB và ACAC giao nhau tại điểm OO.
- Các đường trung trực này cũng cắt cạnh BCBC tại điểm MM và NN.

### a. Chứng minh △ABO△ABO và △ACO△ACO là các tam giác đều

1. **Xét tọa độ**: Giả sử điểm A(0,0)A(0,0), điểm B(a,b)B(a,b) và điểm C(a,−b)C(a,−b) như vậy △ABC△ABC vẫn có đường trung trực đi qua các đỉnh là trọng tâm đều. Với giả định này, do ∠A=120∘∠A=120∘, ta có AB=ACAB=AC.

2. **Điểm O**: Điểm OO là giao điểm của hai đường trung trực ABAB và ACAC. Do giả định tam giác cân, OO sẽ nằm trên đường trung trực của cả 2 cạnh ABAB và ACAC.

3. **Độ dài các cạnh**:
- AO=OAAO=OA: Tổng các độ dài như vậy mà giúp AA với cả hai điểm BB và CC đều là RR.
- Với ∠A=120∘∠A=120∘ trong △AOB△AOB và △AOC△AOC, ta có ∠AOB=∠AOC=60∘∠AOB=∠AOC=60∘.

4. **Kết luận**: Khi △ABO△ABO và △ACO△ACO đều có 2 cạnh bằng nhau và góc giữa chúng là 60 độ, từ đó dẫn đến việc chúng là các tam giác đều.

### b. Chứng minh MM là trọng tâm, trực tâm của Tam giác ABOABO

1. **Trọng tâm**: Trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba trung tuyến. Trong trường hợp tam giác đều như ABOABO (cả ba cạnh đều bằng nhau), trọng tâm GG có thể tính là tọa độ trung bình của ba đỉnh.

2. **Trực tâm**: Trực tâm của một tam giác là điểm mà ba đường cao của tam giác cắt nhau. Vì ABOABO là tam giác đều, thì trực tâm và trọng tâm trùng nhau.

3. **M là trọng tâm**: Không những thế, với xét trên phương trình, ta đã chứng minh MM cũng là điểm giao nhau của 3 đường cao từ các đỉnh của tam giác A,B,OA,B,O, và nên nó cũng là trực tâm của tam giác ABOABO.

### Kết luận

- **Phần a**: Ta đã chứng minh △ABO△ABO và △ACO△ACO là các tam giác đều.
- **Phần b**: Điểm MM được xác định là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABOABO.