Để chứng minh bất đẳng thức $N = x^2 + x + \frac{1}{2} > 0$ với mọi giá trị của $x$, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp biến đổi biểu thức và phân tích kỹ lưỡng các giá trị của hàm số.

### Bước 1: Kiểm tra hàm số và phân tích
Xét hàm số $N(x) = x^2 + x + \frac{1}{2}$.

### Bước 2: Xét tính đạo hàm
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta xét đạo hàm của $N(x)$:
$N'(x) = 2x + 1$
Ta giải phương trình $N'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

### Bước 3: Kiểm tra giá trị cực tiểu tại điểm $x = -\frac{1}{2}$
Thay $x = -\frac{1}{2}$ vào biểu thức $N(x)$:
$N\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}$
$N\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0$

### Bước 4: Kết luận
Vì $N(x)$ có một giá trị cực tiểu là $\frac{1}{4}$ tại $x = -\frac{1}{2}$, và hàm số này luôn dương với mọi giá trị của $x$.

Do đó, bất đẳng thức $N(x) = x^2 + x + \frac{1}{2} > 0$ là đúng với mọi giá trị của $x$.

Để chứng minh rằng hàm $N = x^2 + x + \frac{1}{2} > 0$ với mọi giá trị của $x$, chúng ta có thể thực hiện như sau:

### 1. Xét hàm số và định lý về giá trị của nó

Hàm $N(x) = x^2 + x + \frac{1}{2}$ là một hàm bậc hai có dạng:

$N(x) = ax^2 + bx + c$

với $a = 1$, $b = 1$, và $c = \frac{1}{2}$. Để hàm số này luôn dương, cần phải kiểm tra hai điều kiện:
1. Định nghĩa hàm bậc hai có $a > 0$ (đảm bảo rằng hàm số là một parabol mở lên).
2. Xác định rằng hàm số không có nghiệm thực.

### 2. Tính giá trị của định lý về hàm bậc hai

- **Hàm bậc hai mở lên**:

Vì $a = 1 > 0$, hàm số $N(x) = x^2 + x + \frac{1}{2}$ là một parabol mở lên.

- **Tính nghiệm của phương trình bậc hai**:

Để kiểm tra hàm số không có nghiệm thực, tính biệt thức $\Delta$ của phương trình bậc hai $x^2 + x + \frac{1}{2} = 0$:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Trong đó $a = 1$, $b = 1$, và $c = \frac{1}{2}$:

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}$

$\Delta = 1 - 2 = -1$

Biệt thức $\Delta$ là âm, điều này có nghĩa là phương trình $x^2 + x + \frac{1}{2} = 0$ không có nghiệm thực.

### 3. Kết luận về hàm số

Vì biệt thức $\Delta < 0$, phương trình $x^2 + x + \frac{1}{2} = 0$ không có nghiệm thực, và hàm số $x^2 + x + \frac{1}{2}$ không cắt trục $x$.

Hàm số là một parabol mở lên và không cắt trục $x$, do đó giá trị của hàm số luôn dương với mọi giá trị của $x$.

### Kết luận

Hàm số $N(x) = x^2 + x + \frac{1}{2}$ luôn dương với mọi giá trị của $x$, vì biệt thức $\Delta < 0$ chứng tỏ rằng hàm số không có nghiệm thực và mở lên.