Để giải bài toán này, ta cần tính từng giá trị lượng giác riêng biệt và sau đó cộng chúng lại. Dưới đây là các bước chi tiết:

### 1. Tính giá trị của \(\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

- Đầu tiên, tính \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\):
\[
\frac{2\pi}{3} \text{ nằm trong góc phần tư thứ hai, và } \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
\]
\[
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
\]

- Tính bình phương của \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\):
\[
\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

### 2. Tính giá trị của \(\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)

- Đầu tiên, tính \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\):
\[
\frac{3\pi}{4} \text{ nằm trong góc phần tư thứ hai, và } \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
\]
\[
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

- Tính bình phương của \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\):
\[
\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}
\]

### 3. Tính giá trị của \(\cot\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

- Đầu tiên, tính \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\):
\[
\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

- Tính \(\cot\left(\frac{\pi}{6}\right)\), là nghịch đảo của \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\):
\[
\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \sqrt{3}
\]

### 4. Tính giá trị của \(\tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

- Đầu tiên, tính \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\):
\[
\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}
\]

- Tính bình phương của \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\):
\[
\tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3
\]

### 5. Cộng tất cả các giá trị lại

\[
\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) + \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \sqrt{3} + 3
\]

- Quy đổi \(\frac{1}{2}\) thành phần số chung:
\[
\frac{1}{2} = \frac{2}{4}
\]
\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}
\]

- Cộng tất cả lại:
\[
\frac{3}{4} + \sqrt{3} + 3
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{3}{4} + \sqrt{3} + 3
\]