Để tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc lượng giác \(x\) dựa trên thông tin đã cho, ta sẽ tiến hành giải từng bài toán:

### A) \( \cos x = \frac{3}{4}, \, \frac{5\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{2} \)

1. **Tìm góc lượng giác \(x\):**
\[
\cos x = \frac{3}{4}
\]
Với \( \cos x > 0 \), \( x \) có thể nằm trong góc phần tư thứ I hoặc thứ IV.

Trong khoảng \( \frac{5\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{2} \), các góc cần xét là:

- \( x = \frac{2\pi}{3} \) và \( x = \frac{4\pi}{3} \) (chuẩn hóa về khoảng từ \( 0 \) đến \( 2\pi \)).

Nhưng vì \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \) và \( \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} \), góc cần xét có dạng \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \).

2. **Tìm các giá trị lượng giác còn lại:**

- \( \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4} \) (tùy theo góc phần tư, dấu của \( \sin x \) có thể dương hoặc âm).
- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \)
- \( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{3}{\sqrt{7}} \)
- \( \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{4}{3} \)
- \( \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{4}{\sqrt{7}} \)

### B) \( \cot x = -\sqrt{3}, \, -270^\circ < x < -180^\circ \)

1. **Tìm góc lượng giác \(x\):**
\[
\cot x = -\sqrt{3} \Rightarrow \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]
Góc \( x \) nằm trong khoảng từ \( -270^\circ \) đến \( -180^\circ \) (tương ứng với góc phần tư thứ III).

Góc tương ứng là \( x = -240^\circ \) (vì \( \tan(-240^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)).

2. **Tìm các giá trị lượng giác còn lại:**

- \( \sin x = \sin(-240^\circ) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos x = \cos(-240^\circ) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \)
- \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
- \( \sec x = \frac{1}{\cos x} = -2 \)
- \( \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
- \( \cot x = -\sqrt{3} \)

### C) \( \sin x = 1 \)

1. **Tìm góc lượng giác \(x\):**
\[
\sin x = 1
\]
Góc duy nhất \( x \) mà \( \sin x = 1 \) trong khoảng chu kỳ là \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \) là số nguyên.

2. **Tìm các giá trị lượng giác còn lại:**

- \( \cos x = 0 \)
- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) không xác định (vì chia cho 0).
- \( \cot x \) không xác định (vì \( \tan x \) không xác định).
- \( \sec x \) không xác định (vì \( \cos x = 0 \)).
- \( \csc x = 1 \) (vì \( \sin x = 1 \)).

### D) \( \tan x = 0 \)

1. **Tìm góc lượng giác \(x\):**
\[
\tan x = 0
\]
\( x \) có thể là \( x = 0, \pi, 2\pi, \dots \).

2. **Tìm các giá trị lượng giác còn lại:**

- \( \sin x = 0 \)
- \( \cos x \) là 1 (khi \( x = 0 \) hoặc \( 2\pi \)) hoặc -1 (khi \( x = \pi \)).
- \( \sec x = 1 \) hoặc -1
- \( \csc x \) không xác định (vì \( \sin x = 0 \))
- \( \cot x \) không xác định (vì chia cho 0).

### E) \( \cos x = 0 \)

1. **Tìm góc lượng giác \(x\):**
\[
\cos x = 0
\]
\( x \) có thể là \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \) là số nguyên.

2. **Tìm các giá trị lượng giác còn lại:**

- \( \sin x \) là 1 (khi \( x = \frac{\pi}{2} \)) hoặc -1 (khi \( x = \frac{3\pi}{2} \)).
- \( \tan x \) không xác định (vì chia cho 0).
- \( \cot x = 0 \)
- \( \sec x \) không xác định (vì \( \cos x = 0 \)).
- \( \csc x \) là 1 (khi \( x = \frac{\pi}{2} \)) hoặc -1 (khi \( x = \frac{3\pi}{2} \)).

Chúng ta sẽ tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc ( x ) cho từng trường hợp:

A) (\cos x = \frac{3}{4}, 5\pi < x < \frac{11\pi}{2})
Tìm (\sin x): [ \sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} ] Trong khoảng ( 5\pi < x < \frac{11\pi}{2} ), ( x ) nằm ở góc thứ 3 và thứ 4, nên (\sin x) sẽ âm: [ \sin x = -\frac{\sqrt{7}}{4} ]
Tìm (\tan x): [ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} ]
Tìm (\cot x): [ \cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7} ]
Tìm (\sec x): [ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{4}{3} ]
Tìm (\csc x): [ \csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{4\sqrt{7}}{7} ]
B) (\cot x = -\sqrt{3}, -270^\circ < x < -180^\circ)
Tìm (\tan x): [ \tan x = \frac{1}{\cot x} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} ]
Tìm (\sin x) và (\cos x): [ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sqrt{3}}{3} ] Ta có thể chọn (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}) và (\cos x = \frac{1}{2}) (vì trong khoảng này, ( x ) nằm ở góc thứ 3).
Tìm (\sec x): [ \sec x = \frac{1}{\cos x} = 2 ]
Tìm (\csc x): [ \csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} ]
C) (\sin x = 1)
Tìm (\cos x): [ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - 1^2} = 0 ]
Tìm (\tan x): [ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{undefined} ]
Tìm (\cot x): [ \cot x = \frac{1}{\tan x} = 0 ]
Tìm (\sec x): [ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \text{undefined} ]
Tìm (\csc x): [ \csc x = \frac{1}{\sin x} = 1 ]
D) (\tan x = 0)
Tìm (\sin x): [ \sin x = \tan x \cdot \cos x = 0 ]
Tìm (\cos x): [ \cos x = \pm 1 ]
Tìm (\cot x): [ \cot x = \frac{1}{\tan x} = \text{undefined} ]
Tìm (\sec x): [ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \pm 1 ]
Tìm (\csc x): [ \csc x = \frac{1}{\sin x} = \text{undefined} ]
E) (\cos x = 0)
Tìm (\sin x): [ \sin x = \pm 1 ]
Tìm (\tan x): [ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{undefined} ]
Tìm (\cot x): [ \cot x = \frac{1}{\tan x} = 0 ]
Tìm (\sec x): [ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \text{undefined} ]
Tìm (\csc x): [ \csc x = \frac{1}{\sin x} = \pm 1 ]