Chúng ta sẽ giải các phần của bài toán từng bước.

### a) Tính giá trị của \(A\) khi \(|x-2| = 1\)

#### Bước 1: Xác định giá trị của \(x\) từ điều kiện \(|x - 2| = 1\)

Từ \(|x - 2| = 1\), ta có hai trường hợp:

1. \(x - 2 = 1 \rightarrow x = 3\)
2. \(x - 2 = -1 \rightarrow x = 1\)

#### Bước 2: Tính giá trị của \(A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x}\) với các giá trị của \(x\)

1. **Trường hợp 1:** \(x = 3\)

\[
A = \frac{3 + 1}{3^2 - 2 \times 3} = \frac{4}{9 - 6} = \frac{4}{3}
\]

2. **Trường hợp 2:** \(x = 1\)

\[
A = \frac{1 + 1}{1^2 - 2 \times 1} = \frac{2}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
\]

**Kết quả:** Giá trị của \(A\) là \(\frac{4}{3}\) khi \(x = 3\) và \(-2\) khi \(x = 1\).

### b) Chứng minh: \(B = \frac{8}{x - 2}\)

Biểu thức \(B\) được cho là:

\[
B = \frac{x+2}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} - \frac{16}{4 - x^2}
\]

#### Bước 1: Rút gọn từng phần

1. Phần tử thứ nhất: \(\frac{x+2}{x-2}\) và phần tử thứ hai: \(\frac{x-2}{x+2}\)

2. Phần tử thứ ba: \(\frac{16}{4 - x^2}\)

Nhớ rằng \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\), do đó:

\[
\frac{16}{4 - x^2} = \frac{16}{(2-x)(2+x)} = \frac{16}{-(x-2)(x+2)} = \frac{-16}{(x-2)(x+2)}
\]

#### Bước 2: Tìm mẫu số chung và rút gọn biểu thức

Mẫu số chung cho hai phần tử đầu tiên là \((x-2)(x+2)\):

\[
B = \frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{-16}{(x-2)(x+2)}
\]

Tính tử số:

\[
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]
\[
(x+2)^2 - (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 8x
\]

Vậy biểu thức của \(B\) trở thành:

\[
B = \frac{8x + 16}{(x-2)(x+2)}
\]

\[
B = \frac{8(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{x - 2}
\]

**Chứng minh xong.**

### c) Đặt \(P = \frac{B}{A}\). Rút gọn biểu thức \(P\)

Từ phần b) ta có \(B = \frac{8}{x-2}\), và \(A = \frac{x+1}{x^2 - 2x} = \frac{x+1}{x(x-2)}\).

\[
P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{8}{x-2}}{\frac{x+1}{x(x-2)}} = \frac{8}{x+1} \times \frac{x(x-2)}{x-2} = \frac{8x}{x+1}
\]

**Kết quả:** \(P = \frac{8x}{x+1}\)

### d) Tìm \(x\) nguyên dương để \(P\) là số tự nhiên

Ta cần tìm giá trị của \(x\) sao cho \(\frac{8x}{x+1}\) là một số nguyên.

Điều kiện:

\[
\frac{8x}{x+1} = n, \text{ với } n \text{ là số nguyên dương.}
\]

Điều này có nghĩa là \(x+1\) phải chia hết cho \(8\):

\[
8x = n(x + 1)
\]

\[
8x = nx + n
\]

\[
x(8-n) = n
\]

\[
x = \frac{n}{8-n}
\]

Để \(x\) là số nguyên dương, \(8-n\) phải chia hết cho \(n\) và \(n\) phải nhỏ hơn \(8\).

Xét các trường hợp:

1. **\(n = 1\)**

\[
x = \frac{1}{8-1} = \frac{1}{7} \text{ không phải là số nguyên.}
\]

2. **\(n = 2\)**

\[
x = \frac{2}{8-2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ không phải là số nguyên.}
\]

3. **\(n = 4\)**

\[
x = \frac{4}{8-4} = \frac{4}{4} = 1 \text{ là số nguyên.}
\]

4. **\(n = 8\)**

\[
x = \frac{8}{8-8} = \text{ vô nghĩa.}
\]

**Kết quả:** \(x = 4\) là giá trị nguyên dương để \(P\) là số tự nhiên.

Chúng ta cùng giải các bài toán này nhé:

a) Tính giá trị của ( A ) khi ( |x - 2| = 1 )
Ta có hai trường hợp:

1.
( x - 2 = 1 ) ⟹ ( x = 3 )
2.
( x - 2 = -1 ) ⟹ ( x = 1 )

Trường hợp 1: ( x = 3 )

[ A = {x + 1}{x^2 - 2x} = {3 + 1}{3^2 - 2 \cdot 3} = {4}{9 - 6} = {4}{3} ]

Trường hợp 2: ( x = 1 )

[ A = \{x + 1}{x^2 - 2x} = {1 + 1}{1^2 - 2 \cdot 1} = {2}{1 - 2} ={2}{-1} = -2 ]

b) Chứng minh ( B = \frac{8}{x - 2} )
Biểu thức ( B ) là:

[ B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{4 - x^2} ]

Ta có:

[ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) ]

Do đó:

[ \frac{16}{4 - x^2} = \frac{16}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{16}{-(x - 2)(x + 2)} = -\frac{16}{(x - 2)(x + 2)} ]

Biểu thức ( B ) trở thành:

[ B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{16}{(x - 2)(x + 2)} ]

Gộp các phân số lại:

[ B = \frac{(x + 2)(x + 2) - (x - 2)(x - 2) + 16}{(x - 2)(x + 2)} ]

[ B = \frac{x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4x + 4) + 16}{(x - 2)(x + 2)} ]

[ B = \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 + 16}{(x - 2)(x + 2)} ]

[ B = \frac{8x + 16}{(x - 2)(x + 2)} ]

[ B = \frac{8(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} ]

[ B = \frac{8}{x - 2} ]

c) Đặt ( P = \frac{B}{A} ). Rút gọn biểu thức ( P )
[ P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{8}{x - 2}}{\frac{x + 1}{x^2 - 2x}} = \frac{8}{x - 2} \cdot \frac{x^2 - 2x}{x + 1} = \frac{8(x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 1)} ]

e) Tìm ( x ) nguyên dương để ( P ) là số tự nhiên
Để ( P ) là số tự nhiên, ( \frac{8(x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 1)} ) phải là số nguyên. Ta cần tìm các giá trị ( x ) nguyên dương thỏa mãn điều kiện này.