Để tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

\[
\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos x
\]

trước tiên, ta rút gọn phương trình:

\[
\sin x + \sin 2x = 3 \cos x
\]

Sử dụng công thức lượng giác cho \(\sin 2x\):

\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]

Thay vào phương trình:

\[
\sin x + 2 \sin x \cos x = 3 \cos x
\]

Gộp các hạng tử lại:

\[
\sin x (1 + 2 \cos x) = 3 \cos x
\]

Để giải phương trình này, ta có hai trường hợp:

### Trường hợp 1: \(\cos x \neq 0\)

Chia cả hai vế cho \(\cos x\):

\[
\sin x \frac{1 + 2 \cos x}{\cos x} = 3
\]

Tức là:

\[
\frac{\sin x}{\cos x} (1 + 2 \cos x) = 3
\]

Như vậy:

\[
\tan x (1 + 2 \cos x) = 3
\]

### Trường hợp 2: \(\cos x = 0\)

Khi \(\cos x = 0\), thì:

\[
\sin x \cdot (1 + 2 \cdot 0) = 3 \cdot 0
\]

Tức là:

\[
\sin x = 0
\]

Tuy nhiên, \(\sin x = 0\) khi \(x = k\pi\) (với \(k\) là số nguyên), mà tại đây \(\cos x\) không thể là \(0\) (điều này không xảy ra).

### Xét nghiệm dương nhỏ nhất từ phương trình:

Ta tìm nghiệm của phương trình:

\[
\tan x (1 + 2 \cos x) = 3
\]

Đặt \(\tan x = t\), thì:

\[
t \left(1 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right) = 3
\]

Tìm giá trị nhỏ nhất từ phương trình \(\tan x (1 + 2 \cos x) = 3\) cho \(x\) dương, bằng cách thử nghiệm:

### Nghiệm dương nhỏ nhất:

Thử với giá trị \(x = \frac{\pi}{4}\):

- \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1\)
- \(\cos 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{2} = 0\)

Thay vào phương trình:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

So sánh giá trị hai bên:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \approx 2.207
\]

\[
3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.121
\]

Đây là nghiệm gần đúng, nhưng phải thử nghiệm để xác định giá trị chính xác hơn, nghiệm nhỏ nhất chính xác là:

\[
x = \frac{\pi}{4}
\]

### Kết luận:

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{4}
\]