(a) cm HDQF và HDRE là các hình bình hành

Chứng minh HDQF là hình bình hành:

- Góc nhìn tổng quan:
- Xét tam giác \( AEF \) với trực tâm là \( P \).
- \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( Q \) là trực tâm của tam giác \( BFD \).

- Chứng minh song song:
- Do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( \angle HAF = 90^\circ \).
- \( Q \) là trực tâm của tam giác \( BFD \), nên \( \angle BQD = 90^\circ \).
- \( DQ \parallel HF \) vì cả hai đều vuông góc với \( BF \).

- Chứng minh song song:
- Tương tự, do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( \angle HCF = 90^\circ \).
- \( F \) là chân đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), nên \( \angle HCF = 90^\circ \).
- \( DQ \parallel HF \) và \( HD \parallel QF \).

- \( HDQF \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

Chứng minh HDRE là hình bình hành:

- Góc nhìn tổng quan:
- Xét tam giác \( BFD \) với trực tâm là \( Q \).
- \( E \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- \( R \) là trực tâm của tam giác \( CDE \).

- Cm song song:
- Do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( \angle HBE = 90^\circ \).
- \( R \) là trực tâm của tam giác \( CDE \), nên \( \angle CRE = 90^\circ \).
- \( DR \parallel HE \) vì cả hai đều vuông góc với \( CE \).

- Chứng minh song song:
- Tương tự, do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( \angle HDE = 90^\circ \).
- \( E \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \), nên \( \angle HDE = 90^\circ \).
- \( DR \parallel HE \) và \( HD \parallel RE \).

- Kết luận:
- \( HDRE \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

 (b) Chứng minh EFQR là hình bình hành

- Chứng minh song song và bằng nhau:
- Ta đã chứng minh \( DQ \parallel HF \) và \( DR \parallel HE \) trong phần (a).
- Do đó \( EQ \parallel FR \) và \( EQ = FR \) (bằng nhau do khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng vuông góc là bằng nhau).
- Tương tự, từ hình bình hành \( HDRE \) và \( HDQF \), ta có \( ER \parallel FQ \) và \( ER = FQ \).

- Kết luận:
- \( EFQR \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.