Để tìm các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) khi biết \(\cos(2\alpha) = \frac{2}{5}\) và \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm \(\alpha\) từ \(\cos(2\alpha)\)
Ta biết rằng:
\[
\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1
\]
Vậy, ta có phương trình:
\[
2\cos^2(\alpha) - 1 = \frac{2}{5}
\]

### 2. Giải phương trình
Chuyển \(-1\) sang vế phải:
\[
2\cos^2(\alpha) = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}
\]

Chia cả hai vế cho 2:
\[
\cos^2(\alpha) = \frac{7}{10}
\]

Vậy:
\[
\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{7}{10}}
\]

### 3. Xác định dấu của \(\cos(\alpha)\)
Vì \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\), nên góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ tư, nơi mà \(\cos(\alpha)\) dương. Vậy ta chọn:
\[
\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{10}}
\]

### 4. Tìm \(\sin(\alpha)\)
Ta có:
\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
\]

Thay giá trị của \(\cos^2(\alpha)\) vào:
\[
\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}
\]

Vì \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ tư nên \(\sin(\alpha)\) âm:
\[
\sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{10}}
\]

### 5. Tìm \(\tan(\alpha)\)
\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\sqrt{\frac{3}{10}}}{\sqrt{\frac{7}{10}}} = -\sqrt{\frac{3}{7}}
\]

### 6. Tìm \(\cot(\alpha)\)
\[
\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = -\sqrt{\frac{7}{3}}
\]

### Tóm lại:
- \(\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{10}}\)
- \(\sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{10}}\)
- \(\tan(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{7}}\)
- \(\cot(\alpha) = -\sqrt{\frac{7}{3}}\)

Để tính các giá trị lượng giác của góc ( \alpha ), chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Với điều kiện ( \cos(2\alpha) = \frac{2}{5} ) và ( -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 ), ta có thể làm như sau:

Tính ( \alpha ):

Sử dụng công thức ( \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 ): [ \cos(2\alpha) = \frac{2}{5} \implies 2\cos^2(\alpha) - 1 = \frac{2}{5} ] [ 2\cos^2(\alpha) = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5} ] [ \cos^2(\alpha) = \frac{7}{10} ] [ \cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{7}{10}} ]
Xác định dấu của ( \cos(\alpha) ):

Vì ( -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 ), góc ( \alpha ) nằm ở góc phần tư thứ tư, nơi mà ( \cos(\alpha) ) dương: [ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{10}} ]
Tính ( \sin(\alpha) ):

Sử dụng công thức ( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 ): [ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} ] [ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{3}{10}} ]
Vì ( \alpha ) nằm ở góc phần tư thứ tư, ( \sin(\alpha) ) âm: [ \sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{10}} ]
Tính ( \tan(\alpha) ):

Sử dụng công thức ( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} ): [ \tan(\alpha) = \frac{-\sqrt{\frac{3}{10}}}{\sqrt{\frac{7}{10}}} = -\sqrt{\frac{3}{7}} ]
Tính ( \cot(\alpha) ):

Sử dụng công thức ( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} ): [ \cot(\alpha) = -\sqrt{\frac{7}{3}} ]
Vậy, các giá trị lượng giác của góc ( \alpha ) là:

( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{10}} )
( \sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{10}} )
( \tan(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{7}} )
( \cot(\alpha) = -\sqrt{\frac{7}{3}} )