Để giải bài toán \(\tan(9^\circ) - \tan(27^\circ) - \tan(63^\circ) + \tan(81^\circ)\), ta có thể sử dụng các thuộc tính và công thức của hàm tang, cụ thể là công thức liên quan đến tổng và hiệu của các tang.

Đầu tiên, hãy áp dụng công thức tang của tổng góc:

\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]

**Bước 1: Tính \(\tan(9^\circ) + \tan(81^\circ)\)**

Ta biết rằng \(\tan(90^\circ - x) = \cot(x)\), do đó:

\[
\tan(81^\circ) = \cot(9^\circ)
\]

\[
\tan(9^\circ) \cdot \cot(9^\circ) = 1
\]

Vì vậy:

\[
\tan(9^\circ) + \tan(81^\circ) = \tan(9^\circ) + \frac{1}{\tan(9^\circ)}
\]

**Bước 2: Tính \(\tan(27^\circ) + \tan(63^\circ)\)**

Tương tự:

\[
\tan(63^\circ) = \cot(27^\circ)
\]

\[
\tan(27^\circ) \cdot \cot(27^\circ) = 1
\]

\[
\tan(27^\circ) + \tan(63^\circ) = \tan(27^\circ) + \frac{1}{\tan(27^\circ)}
\]

**Bước 3: Tính \(\tan(9^\circ) + \tan(81^\circ) - (\tan(27^\circ) + \tan(63^\circ))\)**

Sử dụng công thức:

\[
\tan(9^\circ) + \frac{1}{\tan(9^\circ)} - \left(\tan(27^\circ) + \frac{1}{\tan(27^\circ)}\right)
\]

Gọi \( t = \tan(9^\circ) \) và \( u = \tan(27^\circ) \):

\[
\tan(9^\circ) + \frac{1}{\tan(9^\circ)} = t + \frac{1}{t}
\]

\[
\tan(27^\circ) + \frac{1}{\tan(27^\circ)} = u + \frac{1}{u}
\]

Do đó, biểu thức:

\[
t + \frac{1}{t} - \left(u + \frac{1}{u}\right)
\]

**Tính giá trị cụ thể:**

Dựa trên bảng giá trị tang hoặc sử dụng máy tính, ta có:

- \(\tan(9^\circ) \approx 0.1584\)
- \(\tan(27^\circ) \approx 0.5095\)
- \(\tan(63^\circ) \approx 1.9636\)
- \(\tan(81^\circ) \approx 6.3138\)

Tính toán giá trị:

\[
\tan(9^\circ) + \tan(81^\circ) \approx 0.1584 + 6.3138 = 6.4722
\]

\[
\tan(27^\circ) + \tan(63^\circ) \approx 0.5095 + 1.9636 = 2.4731
\]

\[
\tan(9^\circ) - \tan(27^\circ) - \tan(63^\circ) + \tan(81^\circ) \approx 6.4722 - 2.4731 = 3.9991 \approx 4
\]

**Kết luận:**

\[
\tan(9^\circ) - \tan(27^\circ) - \tan(63^\circ) + \tan(81^\circ) = 4
\]