Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này từng bước.

### a) Tính quãng đường \( AC \).

1. **Tính thời gian dự định đi từ A đến B:**

Quãng đường AB = 60 km
Vận tốc dự định = 30 km/h

Thời gian dự định = \( \frac{60 \text{ km}}{30 \text{ km/h}} = 2 \text{ giờ} \)

2. **Tính thời gian thực tế đi từ A đến B:**

Thời gian An đến B sớm hơn 10 phút so với dự định.
Thời gian thực tế = \( 2 \text{ giờ} - 10 \text{ phút} \)
10 phút = \( \frac{10}{60} \text{ giờ} = \frac{1}{6} \text{ giờ} \)
Thời gian thực tế = \( 2 - \frac{1}{6} = \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \text{ giờ} \)

3. **Tính thời gian đi từ A đến C và từ C đến B:**

- Giả sử quãng đường AC = \( x \) km.
- Quãng đường CB = \( 60 - x \) km.

Thời gian đi từ A đến C: \( \frac{x}{30} \text{ giờ} \)
Thời gian nghỉ: 15 phút = \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \text{ giờ} \)
Thời gian đi từ C đến B: \( \frac{60 - x}{40} \text{ giờ} \)

Tổng thời gian thực tế = \( \frac{x}{30} + \frac{1}{4} + \frac{60 - x}{40} \)

Theo bài toán, tổng thời gian thực tế = \( \frac{11}{6} \text{ giờ} \)

Ta có phương trình:
\[
\frac{x}{30} + \frac{1}{4} + \frac{60 - x}{40} = \frac{11}{6}
\]

4. **Giải phương trình:**

Đưa tất cả các phân số về mẫu số chung để dễ dàng tính toán:
\[
\frac{x}{30} + \frac{60 - x}{40} = \frac{2x}{60} + \frac{60 - x}{40}
\]

Quy đồng mẫu số của các phân số là 120:
\[
\frac{4x}{120} + \frac{3(60 - x)}{120} = \frac{11}{6} - \frac{1}{4}
\]

\[
\frac{4x + 180 - 3x}{120} = \frac{11}{6} - \frac{1}{4}
\]

\[
\frac{x + 180}{120} = \frac{22 - 3}{12}
\]

\[
\frac{x + 180}{120} = \frac{19}{12}
\]

Nhân cả hai vế với 120:
\[
x + 180 = 190
\]

\[
x = 10
\]

**Quãng đường AC là 10 km.**

### b) Tính vận tốc của Bình để gặp An trong lúc đang nghỉ.

1. **Thời gian An đã đi khi Bình bắt đầu đuổi theo:**

An đã đi được 10 phút = \( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \text{ giờ} \)
Quãng đường An đã đi được trong thời gian này = \( \frac{1}{6} \times 30 = 5 \text{ km} \)

Vậy quãng đường AC là 10 km, An còn lại 5 km đến C khi Bình bắt đầu đuổi theo.

2. **Thời gian để Bình gặp An trong khi An nghỉ:**

Khi Bình gặp An, An đang nghỉ, vì vậy Bình phải đuổi kịp An trong 15 phút (0,25 giờ).

Quãng đường Bình phải đi = quãng đường từ A đến điểm nghỉ của An là 5 km (vì An đã đi được 5 km rồi).

Vận tốc cần thiết của Bình là:
\[
\text{Vận tốc} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Thời gian}} = \frac{5}{0,25} = 20 \text{ km/h}
\]

**Vận tốc của Bình phải là 20 km/h để gặp An trong lúc đang nghỉ.**

Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này từng bước.

### a) Tính quãng đường ACAC.

1. **Tính thời gian dự định đi từ A đến B:**

Quãng đường AB = 60 km
Vận tốc dự định = 30 km/h

Thời gian dự định = 60 km30 km/h=2 giờ60 km30 km/h=2 giờ

2. **Tính thời gian thực tế đi từ A đến B:**

Thời gian An đến B sớm hơn 10 phút so với dự định.
Thời gian thực tế = 2 giờ−10 phút2 giờ−10 phút
10 phút = 1060 giờ=16 giờ1060 giờ=16 giờ
Thời gian thực tế = 2−16=126−16=116 giờ2−16=126−16=116 giờ

3. **Tính thời gian đi từ A đến C và từ C đến B:**

- Giả sử quãng đường AC = xx km.
- Quãng đường CB = 60−x60−x km.

Thời gian đi từ A đến C: x30 giờx30 giờ
Thời gian nghỉ: 15 phút = 1560=14 giờ1560=14 giờ
Thời gian đi từ C đến B: 60−x40 giờ60−x40 giờ

Tổng thời gian thực tế = x30+14+60−x40x30+14+60−x40

Theo bài toán, tổng thời gian thực tế = 116 giờ116 giờ

Ta có phương trình:
x30+14+60−x40=116x30+14+60−x40=116

4. **Giải phương trình:**

Đưa tất cả các phân số về mẫu số chung để dễ dàng tính toán:
x30+60−x40=2x60+60−x40x30+60−x40=2x60+60−x40

Quy đồng mẫu số của các phân số là 120:
4x120+3(60−x)120=116−144x120+3(60−x)120=116−14

4x+180−3x120=116−144x+180−3x120=116−14

x+180120=22−312x+180120=22−312

x+180120=1912x+180120=1912

Nhân cả hai vế với 120:
x+180=190x+180=190

x=10x=10

**Quãng đường AC là 10 km.**

### b) Tính vận tốc của Bình để gặp An trong lúc đang nghỉ.

1. **Thời gian An đã đi khi Bình bắt đầu đuổi theo:**

An đã đi được 10 phút = 1060=16 giờ1060=16 giờ
Quãng đường An đã đi được trong thời gian này = 16×30=5 km16×30=5 km

Vậy quãng đường AC là 10 km, An còn lại 5 km đến C khi Bình bắt đầu đuổi theo.

2. **Thời gian để Bình gặp An trong khi An nghỉ:**

Khi Bình gặp An, An đang nghỉ, vì vậy Bình phải đuổi kịp An trong 15 phút (0,25 giờ).

Quãng đường Bình phải đi = quãng đường từ A đến điểm nghỉ của An là 5 km (vì An đã đi được 5 km rồi).

Vận tốc cần thiết của Bình là:
Vận tốc=Quãng đườngThời gian=50,25=20 km/hVận tốc=Quãng đườngThời gian=50,25=20 km/h

**Vận tốc của Bình phải là 20 km/h để gặp An trong lúc đang nghỉ.**