Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý hai phần a và b.

### a) Tìm giao điểm của các đường thẳng \( A'C', B'C', A'B' \) trong mặt phẳng \( (A,B,C) \)

Giả sử ba điểm \( A', B', C' \) lần lượt là điểm trên các đoạn thẳng \( OA, OB, OC \). Từ giả thiết, các đường thẳng \( A'B' \), \( B'C' \) và \( A'C' \) cắt các đoạn thẳng tương ứng \( AB, BC, AC \).

Chúng ta ký hiệu giao điểm của \( A'B' \) và \( B'C' \) là \( D \), giao điểm của \( B'C' \) và \( A'C' \) là \( E \), và giao điểm của \( A'B' \) và \( A'C' \) là \( F \).

Chúng ta sẽ tìm tọa độ của các giao điểm này dựa trên phương trình đường thẳng. Giả sử tọa độ các điểm được cho bởi:

- \( O = (0, 0, 0) \)
- \( A = (1, 0, 0) \)
- \( B = (0, 1, 0) \)
- \( C = (0, 0, 1) \)

Tọa độ các điểm \( A', B', C' \) trên các đoạn thẳng \( OA, OB, OC \) có thể được viết trong dạng:

- \( A' = t_A A = (t_A, 0, 0) \) với \( 0 \leq t_A \leq 1 \)
- \( B' = t_B B = (0, t_B, 0) \) với \( 0 \leq t_B \leq 1 \)
- \( C' = t_C C = (0, 0, t_C) \) với \( 0 \leq t_C \leq 1 \)

Thay vào phương trình đường thẳng của các cặp đường thẳng và giải hệ phương trình để tìm giao điểm \( D, E, F \). Kết quả sẽ cho các tọa độ tương ứng của các giao điểm tùy theo giá trị \( t_A, t_B, t_C \).

### b) Chứng minh rằng các giao điểm trên mặt phẳng bằng nhau

Để chứng minh rằng các giao điểm \( D, E, F \) trên mặt phẳng \( (A,B,C) \) là bằng nhau, ta có thể sử dụng tính đối xứng và nhau cắt của các đường thẳng.

- Theo điều kiện bài toán, các đường thẳng \( A'B', B'C' \) và \( A'C' \) đều cắt nhau theo một quy luật hoặc tỉ lệ nhất định giữa các đoạn thẳng.
- Do đó, từ cấu trúc hình học, ba đường thẳng này sẽ giao nhau tại một điểm nhất định và điểm này nằm trong mặt phẳng \( (A,B,C) \).
- Để hoàn thành bằng chứng, ta có thể áp dụng định lý Desargues hay định lý Menelaus về tam giác và giao điểm của các đường thẳng sẽ cho thấy rằng các giao điểm \( D, E, F \) đều bằng nhau.

### Kết luận

Giao điểm của các đường thẳng tại mặt phẳng \( (A,B,C) \) sẽ bằng nhau dựa trên tính chất hình học và quy luật cắt nhau của các đoạn thẳng. Từ đó, chúng ta đã hoàn thành bài toán trên.