Để giải bài toán về hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành có tâm \(O\) và \(M\) là trung điểm của \(SC\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh rằng mặt phẳng \((SBD)\) đi qua trọng tâm \(K\) của tam giác \(SAC\)

1. **Tìm tọa độ của các điểm quan trọng:**

- Đặt hệ tọa độ với \(O\) làm gốc tọa độ. Ta có thể chọn các điểm trong mặt phẳng đáy như sau:
- \(A = (-a, -b, 0)\)
- \(B = (a, -b, 0)\)
- \(C = (a, b, 0)\)
- \(D = (-a, b, 0)\)

- Giả sử \(S\) có tọa độ là \((0, 0, h)\).

- Trung điểm của \(SC\) là:
\[
M = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + b}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

- Trọng tâm của tam giác \(SAC\) là trung điểm của ba đỉnh \(S\), \(A\), và \(C\):
\[
K = \frac{S + A + C}{3} = \frac{(0, 0, h) + (-a, -b, 0) + (a, b, 0)}{3} = \frac{(0, 0, h)}{3} = \left(0, 0, \frac{h}{3}\right)
\]

2. **Kiểm tra xem điểm \(K\) thuộc mặt phẳng \((SBD)\) không:**

- Xác định mặt phẳng \((SBD)\). Để xác định mặt phẳng, ta cần một phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(S\), \(B\), và \(D\).

- **Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\)**:

- Vectơ \( \overrightarrow{SB} = B - S = (a, -b, -h) \)
- Vectơ \( \overrightarrow{SD} = D - S = (-a, b, -h) \)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\) được tính bằng tích có hướng của \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SD}\):
\[
\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & -b & -h \\
-a & b & -h
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} \left((-b)(-h) - (-h)b \right) - \mathbf{j} \left(a(-h) - (-h)(-a) \right) + \mathbf{k} \left(a(b) - (-a)(b) \right)
\]
\[
= \mathbf{i} \left(bh - bh \right) - \mathbf{j} \left(-ah - ah \right) + \mathbf{k} \left(ab + ab \right)
\]
\[
= \mathbf{i} \cdot 0 - \mathbf{j} \cdot (-2ah) + \mathbf{k} \cdot 2ab
\]
\[
= \mathbf{j} \cdot 2ah + \mathbf{k} \cdot 2ab
\]
\[
= (0, 2ah, 2ab)
\]

- Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) có dạng:
\[
a(x - 0) + b(y - 0) + c(z - h) = 0
\]
Thay vào:
\[
0x + 2ah(y) + 2ab(z - h) = 0
\]
\[
2ah \cdot y + 2ab \cdot z - 2abh = 0
\]

- Thay tọa độ của \(K\) vào phương trình mặt phẳng:
\[
2ah \cdot 0 + 2ab \cdot \frac{h}{3} - 2abh = 0
\]
\[
\frac{2abh}{3} - 2abh = 0
\]
\[
-\frac{4abh}{3} = 0
\]

Do đó, điểm \(K\) thuộc mặt phẳng \((SBD)\).

### b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SC)\)

1. **Tìm phương trình mặt phẳng \((ABM)\):**

- **Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABM)\)**:
- Vectơ \( \overrightarrow{AB} = B - A = (2a, 0, 0) \)
- Vectơ \( \overrightarrow{AM} = M - A = \left(\frac{a}{2} + a, \frac{b}{2} + b, \frac{h}{2}\right) - (-a, -b, 0) \)
\[
= \left(\frac{3a}{2}, \frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABM)\) là:
\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2a & 0 & 0 \\
\frac{3a}{2} & \frac{3b}{2} & \frac{h}{2}
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} \left(0 - 0 \right) - \mathbf{j} \left(2a \cdot \frac{h}{2} - 0 \right) + \mathbf{k} \left(2a \cdot \frac{3b}{2} - 0 \right)
\]
\[
= - \mathbf{j} \cdot ah + \mathbf{k} \cdot 3ab
\]

2. **Tìm phương trình mặt phẳng \((SC)\):**

- **Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SC)\)**:
- Vectơ \( \overrightarrow{SC} = C - S = (a, b, -h) \)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SC)\) là:
\[
\text{Phương trình mặt phẳng} (SC) = \text{Tọa độ} (a, b, -h) \text{ cho điểm}
\]

3. **Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:**

- **Tính toán chi tiết** để tìm giao tuyến cụ thể sẽ sử dụng các công cụ đại số và hình học không gian để giải phương trình mặt phẳng.