Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = 10^{6n+2} + 10^{3n+1} + 1 \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta cần chỉ ra rằng \( B \) đồng dư với 0 khi chia cho 111.

Trước tiên, ta lưu ý rằng \( 111 = 3 \times 37 \). Vì vậy, để chứng minh \( B \) chia hết cho 111, ta cần chứng minh \( B \) chia hết cho 3 và 37.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 3:**

1. Xét modulo 3:
- \( 10 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó:
\[ 10^{6n+2} \equiv 1^{6n+2} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 10^{3n+1} \equiv 1^{3n+1} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

- Do đó:
\[ B \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 3.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 37:**

2. Xét modulo 37:
- Ta có \( 10^3 \equiv 10^3 = 1000 \equiv -1 \pmod{37} \). Do đó:
\[ 10^{6n+2} = 10^{6n} \cdot 10^2 = (10^3)^{2n} \cdot 10^2 \equiv (-1)^{2n} \cdot 10^2 \equiv 1 \cdot 10^2 \equiv 100 \pmod{37} \]
\[ 10^{3n+1} = 10^{3n} \cdot 10 = (10^3)^n \cdot 10 \equiv (-1)^n \cdot 10 \pmod{37} \]

- Với \( (-1)^n \cdot 10 \):
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( (-1)^n \equiv 1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv 10 \pmod{37} \).
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( (-1)^n \equiv -1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv -10 \pmod{37} \).

- Xét giá trị của \( B \) modulo 37 với \( n \) chẵn và lẻ:
- Khi \( n \) là chẵn:
\[ B \equiv 100 + 10 + 1 \equiv 111 \equiv 0 \pmod{37} \]
- Khi \( n \) là lẻ:
\[ B \equiv 100 - 10 + 1 \equiv 91 \equiv 0 \pmod{37} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 37.

**Kết luận:**

Vì \( B \) chia hết cho cả 3 và 37, ta có:
\[ B \equiv 0 \pmod{111} \]

Do đó, \( B \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = 10^{6n+2} + 10^{3n+1} + 1 \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta cần chỉ ra rằng \( B \) đồng dư với 0 khi chia cho 111.

Trước tiên, ta lưu ý rằng \( 111 = 3 \times 37 \). Vì vậy, để chứng minh \( B \) chia hết cho 111, ta cần chứng minh \( B \) chia hết cho 3 và 37.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 3:**

1. Xét modulo 3:
- \( 10 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó:
\[ 10^{6n+2} \equiv 1^{6n+2} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 10^{3n+1} \equiv 1^{3n+1} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

- Do đó:
\[ B \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 3.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 37:**

2. Xét modulo 37:
- Ta có \( 10^3 \equiv 10^3 = 1000 \equiv -1 \pmod{37} \). Do đó:
\[ 10^{6n+2} = 10^{6n} \cdot 10^2 = (10^3)^{2n} \cdot 10^2 \equiv (-1)^{2n} \cdot 10^2 \equiv 1 \cdot 10^2 \equiv 100 \pmod{37} \]
\[ 10^{3n+1} = 10^{3n} \cdot 10 = (10^3)^n \cdot 10 \equiv (-1)^n \cdot 10 \pmod{37} \]

- Với \( (-1)^n \cdot 10 \):
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( (-1)^n \equiv 1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv 10 \pmod{37} \).
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( (-1)^n \equiv -1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv -10 \pmod{37} \).

- Xét giá trị của \( B \) modulo 37 với \( n \) chẵn và lẻ:
- Khi \( n \) là chẵn:
\[ B \equiv 100 + 10 + 1 \equiv 111 \equiv 0 \pmod{37} \]
- Khi \( n \) là lẻ:
\[ B \equiv 100 - 10 + 1 \equiv 91 \equiv 0 \pmod{37} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 37.

**Kết luận:**

Vì \( B \) chia hết cho cả 3 và 37, ta có:
\[ B \equiv 0 \pmod{111} \]

Do đó, \( B \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \).

Answer 3

Do đó, BB chia hết cho 111 với mọi n∈Nn∈N.

Answer 4

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = 10^{6n+2} + 10^{3n+1} + 1 \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta cần chỉ ra rằng \( B \) đồng dư với 0 khi chia cho 111.

Trước tiên, ta lưu ý rằng \( 111 = 3 \times 37 \). Vì vậy, để chứng minh \( B \) chia hết cho 111, ta cần chứng minh \( B \) chia hết cho 3 và 37.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 3:**

1. Xét modulo 3:
- \( 10 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó:
\[ 10^{6n+2} \equiv 1^{6n+2} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 10^{3n+1} \equiv 1^{3n+1} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

- Do đó:
\[ B \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 3.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 37:**

2. Xét modulo 37:
- Ta có \( 10^3 \equiv 10^3 = 1000 \equiv -1 \pmod{37} \). Do đó:
\[ 10^{6n+2} = 10^{6n} \cdot 10^2 = (10^3)^{2n} \cdot 10^2 \equiv (-1)^{2n} \cdot 10^2 \equiv 1 \cdot 10^2 \equiv 100 \pmod{37} \]
\[ 10^{3n+1} = 10^{3n} \cdot 10 = (10^3)^n \cdot 10 \equiv (-1)^n \cdot 10 \pmod{37} \]

- Với \( (-1)^n \cdot 10 \):
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( (-1)^n \equiv 1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv 10 \pmod{37} \).
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( (-1)^n \equiv -1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv -10 \pmod{37} \).

- Xét giá trị của \( B \) modulo 37 với \( n \) chẵn và lẻ:
- Khi \( n \) là chẵn:
\[ B \equiv 100 + 10 + 1 \equiv 111 \equiv 0 \pmod{37} \]
- Khi \( n \) là lẻ:
\[ B \equiv 100 - 10 + 1 \equiv 91 \equiv 0 \pmod{37} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 37.

**Kết luận:**

Vì \( B \) chia hết cho cả 3 và 37, ta có:
\[ B \equiv 0 \pmod{111} \]

Do đó, \( B \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \).

...Xem thêm

Answer 5

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = 10^{6n+2} + 10^{3n+1} + 1 \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta cần chỉ ra rằng \( B \) đồng dư với 0 khi chia cho 111.

Trước tiên, ta lưu ý rằng \( 111 = 3 \times 37 \). Vì vậy, để chứng minh \( B \) chia hết cho 111, ta cần chứng minh \( B \) chia hết cho 3 và 37.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 3:**

1. Xét modulo 3:
- \( 10 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó:
\[ 10^{6n+2} \equiv 1^{6n+2} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 10^{3n+1} \equiv 1^{3n+1} \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

- Do đó:
\[ B \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 3.

**Chứng minh \( B \) chia hết cho 37:**

2. Xét modulo 37:
- Ta có \( 10^3 \equiv 10^3 = 1000 \equiv -1 \pmod{37} \). Do đó:
\[ 10^{6n+2} = 10^{6n} \cdot 10^2 = (10^3)^{2n} \cdot 10^2 \equiv (-1)^{2n} \cdot 10^2 \equiv 1 \cdot 10^2 \equiv 100 \pmod{37} \]
\[ 10^{3n+1} = 10^{3n} \cdot 10 = (10^3)^n \cdot 10 \equiv (-1)^n \cdot 10 \pmod{37} \]

- Với \( (-1)^n \cdot 10 \):
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( (-1)^n \equiv 1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv 10 \pmod{37} \).
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( (-1)^n \equiv -1 \pmod{37} \), do đó \( 10^{3n+1} \equiv -10 \pmod{37} \).

- Xét giá trị của \( B \) modulo 37 với \( n \) chẵn và lẻ:
- Khi \( n \) là chẵn:
\[ B \equiv 100 + 10 + 1 \equiv 111 \equiv 0 \pmod{37} \]
- Khi \( n \) là lẻ:
\[ B \equiv 100 - 10 + 1 \equiv 91 \equiv 0 \pmod{37} \]

Vậy \( B \) chia hết cho 37.

**Kết luận:**

Vì \( B \) chia hết cho cả 3 và 37, ta có:
\[ B \equiv 0 \pmod{111} \]

Do đó, \( B \) chia hết cho 111 với mọi \( n \in \mathbb{N} \).

...Xem thêm

3 câu trả lời 227

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8