Để giải phương trình \(x^2 - 2xy + 3y - x - 1 = 0\) với \(x\) và \(y\) là số nguyên, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Sắp xếp lại phương trình:**

Phương trình đã cho là:

\[
x^2 - 2xy + 3y - x - 1 = 0
\]

Sắp xếp lại phương trình này bằng cách nhóm các số hạng có chứa \(x\):

\[
x^2 - 2xy - x + 3y - 1 = 0
\]

2. **Nhóm và đặt điều kiện:**

Nhóm các số hạng có \(x\):

\[
(x^2 - 2xy - x) + (3y - 1) = 0
\]

Nhóm số hạng có \(x\) lại:

\[
x^2 - x - 2xy = x^2 - x(1 + 2y)
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
x^2 - x(1 + 2y) + 3y - 1 = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai đối với \(x\). Để \(x\) là số nguyên, delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai phải là một số chính phương. Delta được tính bằng:

\[
\Delta = (1 + 2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3y - 1)
\]

\[
\Delta = (1 + 2y)^2 - 4(3y - 1)
\]

\[
\Delta = 1 + 4y + 4y^2 - 12y + 4
\]

\[
\Delta = 4y^2 - 8y + 5
\]

Ta cần kiểm tra điều kiện \(\Delta\) là một số chính phương.

3. **Giải phương trình với delta là số chính phương:**

Để \(\Delta\) là số chính phương, ta cần:

\[
4y^2 - 8y + 5 = k^2
\]

cho một số nguyên \(k\). Ta sẽ giải nghiệm thử cho các giá trị nguyên của \(y\) để tìm các nghiệm nguyên:

- **Thử \(y = 0\):**

\[
4(0)^2 - 8(0) + 5 = 5
\]

5 không phải là số chính phương.

- **Thử \(y = 1\):**

\[
4(1)^2 - 8(1) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
\]

1 là số chính phương (\(1^2\)).

Với \(y = 1\), \(\Delta = 1\).

Thay vào phương trình bậc hai:

\[
x^2 - x(1 + 2 \cdot 1) + 3 \cdot 1 - 1 = 0
\]

\[
x^2 - 3x + 2 = 0
\]

Phương trình này có thể giải được bằng cách phân tích:

\[
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0
\]

Nghiệm là \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).

- **Thử \(y = 2\):**

\[
4(2)^2 - 8(2) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5
\]

5 không phải là số chính phương.

- **Thử \(y = -1\):**

\[
4(-1)^2 - 8(-1) + 5 = 4 + 8 + 5 = 17
\]

17 không phải là số chính phương.

- **Thử \(y = -2\):**

\[
4(-2)^2 - 8(-2) + 5 = 16 + 16 + 5 = 37
\]

37 không phải là số chính phương.

4. **Tổng hợp nghiệm:**

Dựa trên các giá trị \(y\) mà chúng ta thử nghiệm, nghiệm nguyên của phương trình là:

- Với \(y = 1\), \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).

Vậy nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 - 2xy + 3y - x - 1 = 0\) là \((x, y) = (1, 1)\) và \((2, 1)\).