Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số đã cho, chúng ta cần phân tích từng hàm số một cách chi tiết.

### a. \( y = \sqrt{x^2 + 6x - 5} \)

Để hàm số này xác định, biểu thức dưới căn phải không âm:
\[ x^2 + 6x - 5 \geq 0 \]

Giải bất phương trình:
\[ x^2 + 6x - 5 = 0 \]

Dùng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14} \]

Do đó, \( x^2 + 6x - 5 \geq 0 \) khi \( x \leq -3 - \sqrt{14} \) hoặc \( x \geq -3 + \sqrt{14} \).

Vì \( y \) là căn bậc hai của một biểu thức không âm, \( y \geq 0 \). Không có giá trị cực đại hữu hạn vì \( y \) có thể tăng vô hạn khi \( x \) tăng vô hạn. Vậy:
- GTNN của \( y = \sqrt{x^2 + 6x - 5} \) là 0.
- Không có GTLN hữu hạn.

### b. \( y = x + \sqrt{4 - x^2} \)

Để hàm số này xác định, biểu thức dưới căn phải không âm:
\[ 4 - x^2 \geq 0 \]
\[ -2 \leq x \leq 2 \]

Xét hàm số trên đoạn \([-2, 2]\):
\[ y = x + \sqrt{4 - x^2} \]

Xét đạo hàm của \( y \):
\[ y' = 1 + \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \]

Đặt \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị:
\[ 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \]
\[ \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 1 \]
\[ x = \sqrt{4 - x^2} \]
Bình phương hai vế:
\[ x^2 = 4 - x^2 \]
\[ 2x^2 = 4 \]
\[ x^2 = 2 \]
\[ x = \pm \sqrt{2} \]

Xét giá trị của hàm số tại các điểm \( x = -2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2 \):
- \( y(-2) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + \sqrt{0} = -2 \)
- \( y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0 \)
- \( y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
- \( y(2) = 2 + \sqrt{4 - (2)^2} = 2 + \sqrt{0} = 2 \)

Vậy:
- GTNN của \( y = x + \sqrt{4 - x^2} \) là \(-2\).
- GTLN của \( y = x + \sqrt{4 - x^2} \) là \(2\sqrt{2}\).

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số và sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị. Sau đó, chúng ta so sánh các giá trị tại các điểm cực trị và các điểm biên (nếu có) để tìm GTLN và GTNN.

a) Hàm số ( y = \sqrt{x^2 + 6x - 5} )
Tập xác định: Điều kiện để hàm số xác định là ( x^2 + 6x - 5 \geq 0 ). Giải bất phương trình này, ta có: [ x^2 + 6x - 5 = 0 \implies x = -3 \pm \sqrt{14} ] Vậy tập xác định là ( x \leq -3 - \sqrt{14} ) hoặc ( x \geq -3 + \sqrt{14} ).
Đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số: [ y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 6x - 5} \right) = \frac{2x + 6}{2\sqrt{x^2 + 6x - 5}} ] Giải phương trình ( y’ = 0 ): [ 2x + 6 = 0 \implies x = -3 ] Tuy nhiên, ( x = -3 ) không thuộc tập xác định. Do đó, ta chỉ cần xét các giá trị tại các điểm biên.
Giá trị tại các điểm biên: [ y(-3 - \sqrt{14}) = \sqrt{(-3 - \sqrt{14})^2 + 6(-3 - \sqrt{14}) - 5} ] [ y(-3 + \sqrt{14}) = \sqrt{(-3 + \sqrt{14})^2 + 6(-3 + \sqrt{14}) - 5} ]
b) Hàm số ( y = x + \sqrt{4 - x^2} )
Tập xác định: Điều kiện để hàm số xác định là ( 4 - x^2 \geq 0 ). Giải bất phương trình này, ta có: [ -2 \leq x \leq 2 ]
Đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số: [ y’ = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} ] Giải phương trình ( y’ = 0 ): [ 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} ]
Giá trị tại các điểm biên và cực trị: [ y(-2) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 ] [ y(2) = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 ] [ y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} ] [ y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \sqrt{4 - (-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0 ]
Vậy, GTLN và GTNN của hàm số ( y = x + \sqrt{4 - x^2} ) lần lượt là ( 2\sqrt{2} ) và ( -2 ).