Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \( (APD) \) và \( (BMN) \)

Trước tiên, chúng ta cần xây dựng các điểm trên tứ diện \( ABCD \) và xác định vị trí của các trung điểm:

- \( M \) là trung điểm của \( AD \)
- \( N \) là trung điểm của \( AC \)
- \( P \) là trung điểm của \( BC \)

Sau đó, chúng ta cần xác định phương trình mặt phẳng \( (APD) \) và \( (BMN) \).

#### Phương trình mặt phẳng \( (APD) \):

Mặt phẳng \( (APD) \) được xác định bởi ba điểm \( A, P, D \).

Giả sử các điểm có tọa độ như sau:
- \( A(x_1, y_1, z_1) \)
- \( B(x_2, y_2, z_2) \)
- \( C(x_3, y_3, z_3) \)
- \( D(x_4, y_4, z_4) \)
- \( M\left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}, \frac{z_1 + z_4}{2}\right) \)
- \( N\left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2}\right) \)
- \( P\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2}\right) \)

Sau đó, bạn có thể tính tích có hướng của các vector \( \overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AD} \) để tìm hệ số phương trình mặt phẳng.

#### Phương trình mặt phẳng \( (BMN) \):

Tương tự, mặt phẳng \( (BMN) \) được xác định bởi ba điểm \( B, M, N \). Bạn làm tương tự để tìm phương trình mặt phẳng này.

#### Tìm giao tuyến:

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng nằm trên cả hai mặt phẳng. Bạn cần giải hệ phương trình của hai mặt phẳng đó.

Gọi giao điểm của \( PD \) với mặt phẳng \( (BMN) \) là \( I \). Để tìm giao điểm \( I \), thay tọa độ của \( I \) vào phương trình mặt phẳng \( (BMN) \) và giải để tìm tọa độ của \( I \).

### b) Chứng minh rằng \( BI \) song song với \( CD \) và \( BICD \) là hình bình hành

Để chứng minh \( BI \) song song với \( CD \), bạn có thể tính vector \( \overrightarrow{BI} \) và \( \overrightarrow{CD} \) và chỉ ra rằng chúng tỷ lệ với nhau (có cùng hướng hoặc ngược chiều nhưng có độ dài khác nhau).

Khi đã chỉ ra rằng \( BI \) song song với \( CD \), bạn cần chứng minh rằng \( BICD \) là hình bình hành, điều này xảy ra khi \( BI \) và \( CD \) có độ dài bằng nhau, đồng thời xác minh rằng \( \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{CD} \).

### c) Tìm giao tuyến của \( (CMI) \) và \( (ABD) \)

Tương tự như phần a, bạn cần xác định các điểm \( C, M, I \) và \( A, B, D \) để xây dựng phương trình mặt phẳng \( (CMI) \) và \( (ABD) \).

Sau đó, giải hệ phương trình của hai mặt phẳng để tìm giao tuyến, cụ thể là một đường thẳng hoặc một điểm giao nhau.

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán này. Nếu cần thêm chi tiết ở từng bước, hãy cho tôi biết!