Để giải bài toán về hình thang cân \(ABCD\) với góc \(A = 60^\circ\), đáy \(BC \parallel AD\) và đường chéo \(AC\) là phân giác của góc \(A\), ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### (a) Chứng minh tam giác \(ABC\) cân

1. **Góc \(A = 60^\circ\)**:
- Ta có \(\angle A = 60^\circ\).

2. **Phân giác**:
- Do \(AC\) là phân giác của góc \(A\), ta có:
\[
\angle CAB = \angle DAC = 30^\circ.
\]

3. **Góc trong tam giác**:
- Vì \(BC \parallel AD\), ta có \(\angle ABC = \angle DAB\).
- Từ đó, ta có:
\[
\angle ABC = \angle DAC = 30^\circ.
\]

4. **Tính toán góc \(B\)**:
- Trong tam giác \(ABC\):
\[
\angle ABC + \angle CAB + \angle ACB = 180^\circ.
\]
- Thay giá trị đã biết vào:
\[
30^\circ + 30^\circ + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow \angle ACB = 120^\circ.
\]

5. **Sử dụng tính chất của hình thang**:
- Trong hình thang cân \(ABCD\), đáy \(BC \parallel AD\) nên:
\[
\angle ABC = \angle DAB \text{ và } \angle ACB = \angle CAD = 30^\circ.
\]

6. **Cân về độ dài cạnh**:
- Ta thấy rằng \(\angle ABC = \angle ACB\) nên ta kết luận rằng tam giác \(ABC\) là tam giác cân, với \(AB = AC\).

### Kết luận phần (a):

Tam giác \(ABC\) là tam giác cân.

---

### (b) Chứng minh \(CD\) vuông góc với \(CA\)

1. **Góc tại điểm \(C\)**:
- Từ việc đã chứng minh ở phần (a), biết rằng:
\[
\angle ACB = 120^\circ.
\]

2. **Góc tại điểm \(D\)**:
- Vì \(BC \parallel AD\) và \(AC\) là phân giác, ta có:
\[
\angle CDA = \angle ACB = 120^\circ.
\]

3. **Sử dụng tính chất của hình thang**:
- Ta lưu ý rằng:
\[
\angle ACD + \angle DCA = 180^\circ.
\]
- Khi \(\angle DCA = 30^\circ\) (do đường chéo chia đôi góc \(A\)), thì:
\[
\angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ.
\]

4. **Góc vuông**:
- Khi có \(CD\) vuông góc với \(CA\) với góc tổng bằng \(90^\circ\), ta có:
\[
\angle ACD + \angle CDA = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ.
\]
- Như vậy, ta chứng minh rằng \(CD\) đi xuống một cách vuông góc với \(AC\).

### Kết luận phần (b):

Ta đã chứng minh rằng \(CD\) vuông góc với \(CA\).

Kết thúc bài toán, ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài.