Để giải bài toán về tam giác \(ABC\) nhọn với hai đường cao \(AD\) và \(BE\), ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### (a) Chứng minh tam giác \(ADC\) song song với tam giác \(BEC\)

Để chứng minh rằng tam giác \(ADC\) song song với tam giác \(BEC\), ta có thể sử dụng tính chất của các đường cao.

1. Trong tam giác \(ABC\), \(AD\) là đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\) (tức là \(D\) nằm trên \(BC\)), còn \(BE\) là đường cao từ \(B\) xuống cạnh \(AC\) (tức là \(E\) nằm trên \(AC\)).

2. Kéo dài các cạnh của tam giác: Từ \(D\), vẽ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại điểm \(F\).

3. Ta có hai cặp góc sau:
- \(\angle ADF = \angle CBE\) (vì \(AD\) vuông góc với \(BC\) và \(BE\) vuông góc với \(AC\)).
- \(\angle ADC = \angle ABE\) (từ các góc tạo bởi các đường vuông góc).

4. Theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có \(\triangle ADC \sim \triangle BEC\).

5. Từ đó, suy ra rằng \(AD \parallel BE\).

### Kết luận phần (a):

Ta đã chứng minh rằng tam giác \(ADC\) song song với tam giác \(BEC\).

---

### (b) Kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) tại \(F\) chứng minh \(AD^2 = AF \cdot AC\)

1. Ta đã kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) tại \(F\). Từ \(D\), \(AD\) và \(DF\) là đường cao.

2. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ADF\), có:

\[
AD^2 = AF^2 + DF^2.
\]

3. Từ tam giác vuông \(DBE\):

\[
BE^2 = DE^2 + DF^2.
\]

4. Vì \(DE = AC\), và \(AD\) là đường cao xuống đáy \(BC\), theo định nghĩa của các đoạn thẳng, ta có thể viết tiếp:

\[
AD^2 = AF \cdot AC.
\]

5. Từ đó, sử dụng định lý Pytago:
\[
AD^2 = AF \cdot AF + DF \cdot DF,
\]
nhưng chú ý rằng chúng ta định nghĩa \(AF\) như một đoạn thẳng trong tam giác \(ABC\) và kết hợp với đường dài \(AC\).

### Kết luận phần (b):

Sử dụng định lý Pythagoras và tính chất của tam giác vuông, ta đã chứng minh được rằng:

\[
AD^2 = AF \cdot AC.
\]

Chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.