Để chứng minh rằng tổng \( S = \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n(n+1)} \) lớn hơn \(\frac{1}{6}\) và nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Viết tổng thành một dạng đơn giản hơn:**

Tổng \( S \) có thể được viết lại bằng cách phân tích từng phân số:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
Do đó:
\[
S = \sum_{n=5}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\]

Tổng này là một chuỗi số học mà các thành phần bị triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại phần đầu và phần cuối:
\[
S = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \right)
\]
\[
S = \frac{1}{5} - \frac{1}{101}
\]

2. **Tính giá trị của \( S \):**

Ta có:
\[
\frac{1}{5} - \frac{1}{101}
\]

Tính giá trị cụ thể:
\[
\frac{1}{5} = 0.2
\]
\[
\frac{1}{101} \approx 0.0099
\]
\[
\frac{1}{5} - \frac{1}{101} \approx 0.2 - 0.0099 = 0.1901
\]

3. **So sánh với các giới hạn:**

- Để kiểm tra xem \( 0.1901 \) có lớn hơn \(\frac{1}{6}\):
\[
\frac{1}{6} \approx 0.1667
\]
Vì \( 0.1901 > 0.1667 \), do đó \( S > \frac{1}{6} \).

- Để kiểm tra xem \( 0.1901 \) có nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\):
\[
\frac{1}{4} = 0.25
\]
Vì \( 0.1901 < 0.25 \), do đó \( S < \frac{1}{4} \).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tổng \( \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n(n+1)} \) lớn hơn \(\frac{1}{6}\) và nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).

Để chứng minh rằng tổng S=∑100n=51n(n+1)S=∑n=51001n(n+1) lớn hơn 1616 và nhỏ hơn 1414, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Viết tổng thành một dạng đơn giản hơn:**

Tổng SS có thể được viết lại bằng cách phân tích từng phân số:
1n(n+1)=1n−1n+11n(n+1)=1n−1n+1
Do đó:
S=∑100n=5(1n−1n+1)S=∑n=5100(1n−1n+1)

Tổng này là một chuỗi số học mà các thành phần bị triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại phần đầu và phần cuối:
S=(15−16)+(16−17)+⋯+(1100−1101)S=(15−16)+(16−17)+⋯+(1100−1101)
S=15−1101S=15−1101

2. **Tính giá trị của SS:**

Ta có:
15−110115−1101

Tính giá trị cụ thể:
15=0.215=0.2
1101≈0.00991101≈0.0099
15−1101≈0.2−0.0099=0.190115−1101≈0.2−0.0099=0.1901

3. **So sánh với các giới hạn:**

- Để kiểm tra xem 0.19010.1901 có lớn hơn 1616:
16≈0.166716≈0.1667
Vì 0.1901>0.16670.1901>0.1667, do đó S>16S>16.

- Để kiểm tra xem 0.19010.1901 có nhỏ hơn 1414:
14=0.2514=0.25
Vì 0.1901<0.250.1901<0.25, do đó S<14S<14.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tổng ∑100n=51n(n+1)∑n=51001n(n+1) lớn hơn 1616 và nhỏ hơn 1414.
 
    
 

 

Để chứng minh rằng tổng sau đây:

\[
S = \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n \cdot n} = \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

lớn hơn \(\frac{1}{6}\) và bé hơn \(\frac{1}{4}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định giới hạn trên và dưới cho tổng

#### Tính tổng \( S \):
Ta có:

\[
S = \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

Chú ý rằng \(\frac{1}{n^2}\) là một dãy số giảm. Do đó, để tìm giới hạn cho tổng này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của chuỗi số hạng dương.

### Bước 2: Kiểm tra các giới hạn

1. **Tính tổng bằng tích phân**:
Tính giá trị gần đúng cho tổng này bằng cách sử dụng tích phân.

Ta có:

\[
\int_{4}^{100} \frac{1}{x^2} \, dx < \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n^2} < \int_{5}^{101} \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Tính hai tích phân này:

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x}
\]

Do đó:

\[
\int_{4}^{100} \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{100} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{100} = \frac{25 - 1}{100} = \frac{24}{100} = 0.24
\]

Còn:

\[
\int_{5}^{101} \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{101} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{101} \approx 0.20
\]

Từ đó, ta có:

\[
0.20 < S < 0.24
\]

### Bước 3: Kết luận

Từ kết quả trên, ta có thể viết thế này:

\[
0.20 < S < 0.24
\]

Vì \(0.20 = \frac{1}{5}\) và \(0.24 = \frac{6}{25}\):

- Ta thấy rằng \(S > \frac{1}{6} \) (vì \(\frac{1}{6} \approx 0.1667 < 0.20\))
- Và \(S < \frac{1}{4} \) (vì \(0.24 < 0.25\))

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{6} < S < \frac{1}{4}
\]

Tổng \( S \) lớn hơn \(\frac{1}{6}\) và nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).