Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( C \) với \( D \) là trung điểm của \( AC \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Gọi các đại lượng cần thiết

- Gọi \( AB = c \), \( BC = a \), và \( AC = b \).
- Vì \( D \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AD = DC = \frac{b}{2} \).

### Bước 2: Sử dụng định lý Pythagore

Trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies c^2 = b^2 + a^2
\]

### Bước 3: Tính \( BD \)

Để tính độ dài \( BD \), có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( BDC \):

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2
\]

Vì \( CD = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2} \), do đó:

\[
BD^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2
\]
\[
BD^2 = a^2 + \frac{b^2}{4}
\]

### Bước 4: Tính \( 4BD^2 \)

Tiếp theo, ta nhân cả hai vế của phương trình \( BD^2 \) với 4:

\[
4BD^2 = 4\left(a^2 + \frac{b^2}{4}\right) = 4a^2 + b^2
\]

### Bước 5: Đưa vào phương trình cần chứng minh

Ta cần chứng minh rằng:

\[
AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2
\]

Thay \( AB^2 \) và \( BC^2 \) vào phương trình:

\[
c^2 + 3a^2 = 4BD^2
\]

Thay \( c^2 \) từ định lý Pythagore vào:

\[
(b^2 + a^2) + 3a^2 = 4BD^2
\]
\[
b^2 + 4a^2 = 4BD^2
\]

Nhưng từ bước 4, ta có:

\[
4BD^2 = 4a^2 + b^2
\]

### Kết luận

Vì \( b^2 + 4a^2 = 4a^2 + b^2 \) là đúng, do đó:

\[
AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán: \( AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2 \).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng \( AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( C \) với \( D \) là trung điểm của \( AC \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Gọi các đại lượng cần thiết

- Gọi \( AB = c \), \( BC = a \), và \( AC = b \).
- Vì \( D \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AD = DC = \frac{b}{2} \).

### Bước 2: Sử dụng định lý Pythagore

Trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies c^2 = b^2 + a^2
\]

### Bước 3: Tính \( BD \)

Để tính độ dài \( BD \), có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( BDC \):

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2
\]

Vì \( CD = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2} \), do đó:

\[
BD^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2
\]
\[
BD^2 = a^2 + \frac{b^2}{4}
\]

### Bước 4: Tính \( 4BD^2 \)

Tiếp theo, ta nhân cả hai vế của phương trình \( BD^2 \) với 4:

\[
4BD^2 = 4\left(a^2 + \frac{b^2}{4}\right) = 4a^2 + b^2
\]

### Bước 5: Đưa vào phương trình cần chứng minh

Ta cần chứng minh rằng:

\[
AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2
\]

Thay \( AB^2 \) và \( BC^2 \) vào phương trình:

\[
c^2 + 3a^2 = 4BD^2
\]

Thay \( c^2 \) từ định lý Pythagore vào:

\[
(b^2 + a^2) + 3a^2 = 4BD^2
\]
\[
b^2 + 4a^2 = 4BD^2
\]

Nhưng từ bước 4, ta có:

\[
4BD^2 = 4a^2 + b^2
\]

### Kết luận

Vì \( b^2 + 4a^2 = 4a^2 + b^2 \) là đúng, do đó:

\[
AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán: \( AB^2 + 3BC^2 = 4BD^2 \).

1 câu trả lời 211

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8