Để giải phương trình

\[
x \left(x + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{2}x + 4\right) \left(2x - 5\right) = \frac{1}{5}
\]

ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Mở rộng các biểu thức trong dấu ngoặc

#### Mở rộng \(x \left(x + \frac{1}{3}\right)\)

Áp dụng phân phối:
\[
x \left(x + \frac{1}{3}\right) = x^2 + \frac{1}{3}x
\]

#### Mở rộng \(\left(\frac{1}{2}x + 4\right) \left(2x - 5\right)\)

Áp dụng quy tắc phân phối:
\[
\left(\frac{1}{2}x + 4\right) \left(2x - 5\right) = \left(\frac{1}{2}x \cdot 2x\right) + \left(\frac{1}{2}x \cdot (-5)\right) + \left(4 \cdot 2x\right) + \left(4 \cdot (-5)\right)
\]

Tính từng phần:
\[
\frac{1}{2}x \cdot 2x = x^2
\]
\[
\frac{1}{2}x \cdot (-5) = -\frac{5}{2}x
\]
\[
4 \cdot 2x = 8x
\]
\[
4 \cdot (-5) = -20
\]

Tổng hợp lại:
\[
\left(\frac{1}{2}x + 4\right) \left(2x - 5\right) = x^2 - \frac{5}{2}x + 8x - 20
\]
\[
= x^2 + \left(8 - \frac{5}{2}\right)x - 20
\]
\[
= x^2 + \frac{11}{2}x - 20
\]

### Bước 2: Thay các biểu thức vào phương trình gốc

Thay vào phương trình:
\[
x^2 + \frac{1}{3}x - \left(x^2 + \frac{11}{2}x - 20\right) = \frac{1}{5}
\]

### Bước 3: Rút gọn

Phân phối dấu trừ trong biểu thức:
\[
x^2 + \frac{1}{3}x - x^2 - \frac{11}{2}x + 20 = \frac{1}{5}
\]

Rút gọn:
\[
\frac{1}{3}x - \frac{11}{2}x + 20 = \frac{1}{5}
\]

Tìm mẫu số chung để cộng trừ các phân số:
Mẫu số chung của \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{11}{2}\) là 6:
\[
\frac{1}{3}x = \frac{2}{6}x
\]
\[
\frac{11}{2}x = \frac{33}{6}x
\]

Thay vào:
\[
\frac{2}{6}x - \frac{33}{6}x + 20 = \frac{1}{5}
\]
\[
-\frac{31}{6}x + 20 = \frac{1}{5}
\]

### Bước 4: Giải phương trình

Đưa về dạng phương trình đơn giản:
\[
-\frac{31}{6}x + 20 = \frac{1}{5}
\]

Chuyển 20 về phía bên phải:
\[
-\frac{31}{6}x = \frac{1}{5} - 20
\]
\[
-\frac{31}{6}x = \frac{1 - 100}{5}
\]
\[
-\frac{31}{6}x = \frac{-99}{5}
\]

Nhân cả hai vế với \(-\frac{6}{31}\) để tìm \(x\):
\[
x = \frac{-99}{5} \times \frac{-6}{31}
\]
\[
x = \frac{99 \times 6}{5 \times 31}
\]
\[
x = \frac{594}{155}
\]

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{594}{155}
\]