Để phân tích đa thức \( a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích theo nhóm hoặc các phương pháp khác để tìm ra các yếu tố của đa thức.

### Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Trước tiên, chúng ta thử nghiệm các giá trị nguyên nhỏ để kiểm tra xem liệu có nghiệm nào của đa thức hay không. Ta có thể thử các giá trị \( a = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \).

- Thử \( a = 1 \):
\[
a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 = 1 + 8 + 14 - 8 - 15 = -0 \text{ (Nghiệm)}
\]
Vậy \( a = 1 \) là nghiệm của đa thức.

### Bước 2: Phân tích đa thức bằng cách chia

Vì \( a = 1 \) là nghiệm, ta có thể chia đa thức \( a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) cho \( a - 1 \) bằng phương pháp chia đa thức.

Chia đa thức \( a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) cho \( a - 1 \) bằng cách sử dụng phương pháp chia dài:

- Chia \( a^4 \) cho \( a \) được \( a^3 \).
- Nhân \( a^3 \) với \( a - 1 \) được \( a^4 - a^3 \).
- Trừ \( a^4 - a^3 \) từ \( a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) được \( 9a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \).

Tiếp tục chia \( 9a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \):

- Chia \( 9a^3 \) cho \( a \) được \( 9a^2 \).
- Nhân \( 9a^2 \) với \( a - 1 \) được \( 9a^3 - 9a^2 \).
- Trừ \( 9a^3 - 9a^2 \) từ \( 9a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) được \( 23a^2 - 8a - 15 \).

Tiếp tục chia \( 23a^2 - 8a - 15 \):

- Chia \( 23a^2 \) cho \( a \) được \( 23a \).
- Nhân \( 23a \) với \( a - 1 \) được \( 23a^2 - 23a \).
- Trừ \( 23a^2 - 23a \) từ \( 23a^2 - 8a - 15 \) được \( 15a - 15 \).

Cuối cùng, chia \( 15a - 15 \):

- Chia \( 15a \) cho \( a \) được \( 15 \).
- Nhân \( 15 \) với \( a - 1 \) được \( 15a - 15 \).
- Trừ \( 15a - 15 \) từ \( 15a - 15 \) được \( 0 \).

Vậy, kết quả của phép chia là:
\[
a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 = (a - 1)(a^3 + 9a^2 + 23a + 15)
\]

### Bước 3: Phân tích tiếp đa thức bậc 3

Tiếp tục phân tích đa thức bậc ba \( a^3 + 9a^2 + 23a + 15 \).

- Thử nghiệm các giá trị nguyên như trước để tìm nghiệm.
- Thử \( a = -3 \):
\[
a^3 + 9a^2 + 23a + 15 = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 23(-3) + 15 = -27 + 81 - 69 + 15 = 0
\]
Vậy \( a = -3 \) là nghiệm của đa thức.

Chia đa thức \( a^3 + 9a^2 + 23a + 15 \) cho \( a + 3 \):

- Chia \( a^3 \) cho \( a \) được \( a^2 \).
- Nhân \( a^2 \) với \( a + 3 \) được \( a^3 + 3a^2 \).
- Trừ \( a^3 + 3a^2 \) từ \( a^3 + 9a^2 + 23a + 15 \) được \( 6a^2 + 23a + 15 \).

Tiếp tục chia \( 6a^2 + 23a + 15 \):

- Chia \( 6a^2 \) cho \( a \) được \( 6a \).
- Nhân \( 6a \) với \( a + 3 \) được \( 6a^2 + 18a \).
- Trừ \( 6a^2 + 18a \) từ \( 6a^2 + 23a + 15 \) được \( 5a + 15 \).

Cuối cùng, chia \( 5a + 15 \):

- Chia \( 5a \) cho \( a \) được \( 5 \).
- Nhân \( 5 \) với \( a + 3 \) được \( 5a + 15 \).
- Trừ \( 5a + 15 \) từ \( 5a + 15 \) được \( 0 \).

Kết quả phép chia là:
\[
a^3 + 9a^2 + 23a + 15 = (a + 3)(a^2 + 6a + 5)
\]

Phân tích \( a^2 + 6a + 5 \):

\[
a^2 + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5)
\]

### Kết quả cuối cùng

Do đó, đa thức \( a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 \) có thể phân tích thành:

\[
a^4 + 8a^3 + 14a^2 - 8a - 15 = (a - 1)(a + 3)(a + 1)(a + 5)
\]