Để chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) với điểm \(P\) nằm trong tam giác và điểm \(Q\) cũng nằm trong tam giác thỏa mãn \( \angle ABP = \angle CBQ \) và \( \angle ACP = \angle BCQ \), ta sẽ sử dụng một số thuộc tính về các tam giác đồng dạng và các góc.

### Chứng minh:

1. **Đánh giá các góc đã cho**:
- Gọi \( \angle ABP = \alpha \)
- Gọi \( \angle CBQ = \alpha \) (do điều kiện cho trước)
- Gọi \( \angle ACP = \beta \)
- Gọi \( \angle BCQ = \beta \) (do điều kiện cho trước)

2. **Xem xét góc \(A\) và góc \(C\)**:
- Từ các góc đã cho, ta có thể xác định thêm các góc xung quanh các điểm \(P\) và \(Q\). Ta sẽ cần một số thuộc tính về các góc.

3. **Góc ở điểm \(A\) và điểm \(C\)**:
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle BAP = \angle CAQ \).
- Từ các điều kiện, ta có thể viết lại một số biểu thức về các góc trong tam giác.

4. **Tổng các góc trong tam giác**:
- Tổng các góc trong tam giác \(ABP\) có thể viết là:
\[
\angle ABP + \angle BAP + \angle APB = 180^\circ
\]
Tương tự, cho tam giác \(CBQ\):
\[
\angle CBQ + \angle CAQ + \angle BCQ = 180^\circ
\]

5. **So sánh các góc**:
- Cả hai tam giác \(ABP\) và \(CBQ\) đều có:
\[
\alpha + \angle BAP + \angle APB = 180^\circ
\]
\[
\alpha + \angle CAQ + \beta = 180^\circ
\]

6. **Suy diễn từ tổng các góc**:
- Do \( \angle APB\) và \(\angle BCQ\) đều được gán giá trị \(\beta\), ta có:
\[
\angle APB = \angle BCQ
\]
- Kết hợp lại từ tổng các góc, ta có:
\[
\angle BAP = \angle CAQ
\]

### Kết luận:
Vậy, từ các mối liên hệ trên, ta đã chứng minh rằng \( \angle BAP = \angle CAQ \). Điều đó có nghĩa rằng, dưới các điều kiện đã cho trong đề bài, hai góc này là bằng nhau.

Chúng ta hoàn thành chứng minh.