Để chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ với điểm $P$ nằm trong tam giác và điểm $Q$ cũng nằm trong tam giác thỏa mãn $\angle ABP = \angle CBQ$ và $\angle ACP = \angle BCQ$, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính về các tam giác đồng dạng và các góc.

### Chứng minh:

1. **Đánh giá các góc đã cho**:
- Gọi $\angle ABP = \alpha$
- Gọi $\angle CBQ = \alpha$ (do điều kiện cho trước)
- Gọi $\angle ACP = \beta$
- Gọi $\angle BCQ = \beta$ (do điều kiện cho trước)

2. **Xem xét góc $A$ và góc $C$**:
- Từ các góc đã cho, ta có thể xác định thêm các góc xung quanh các điểm $P$ và $Q$. Ta sẽ cần một số thuộc tính về các góc.

3. **Góc ở điểm $A$ và điểm $C$**:
- Ta cần chứng minh rằng $\angle BAP = \angle CAQ$.
- Từ các điều kiện, ta có thể viết lại một số biểu thức về các góc trong tam giác.

4. **Tổng các góc trong tam giác**:
- Tổng các góc trong tam giác $ABP$ có thể viết là:
$\angle ABP + \angle BAP + \angle APB = 180^\circ$
Tương tự, cho tam giác $CBQ$:
$\angle CBQ + \angle CAQ + \angle BCQ = 180^\circ$

5. **So sánh các góc**:
- Cả hai tam giác $ABP$ và $CBQ$ đều có:
$\alpha + \angle BAP + \angle APB = 180^\circ$
$\alpha + \angle CAQ + \beta = 180^\circ$

6. **Suy diễn từ tổng các góc**:
- Do $\angle APB$ và $\angle BCQ$ đều được gán giá trị $\beta$, ta có:
$\angle APB = \angle BCQ$
- Kết hợp lại từ tổng các góc, ta có:
$\angle BAP = \angle CAQ$

### Kết luận:
Vậy, từ các mối liên hệ trên, ta đã chứng minh rằng $\angle BAP = \angle CAQ$. Điều đó có nghĩa rằng, dưới các điều kiện đã cho trong đề bài, hai góc này là bằng nhau.

Chúng ta hoàn thành chứng minh.