1. Xét hình bình hành \(ABCD\), ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), do đó \(AB = CD\) và \(AD = BC\).

2. Điểm \(M\) nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \(AD = DM\):
\[
M \text{ chia đoạn } AB \text{ thành hai đoạn } AM \text{ và } MB, \text{ mà } AD = DM.
\]

3. Điểm \(N\) nằm trên đoạn \(AD\) sao cho \(AB = BN\):
\[
N \text{ chia đoạn } AD \text{ thành hai đoạn } AN \text{ và } ND, \text{ mà } AB = BN.
\]

4. Vì \(AD = DM\), suy ra:
\[
AM = AB - MB = AB - (AB - AD) = AD = DM.
\]

5. Từ \(AB = BN\), suy ra:
\[
AN = AD - ND = AD - (AD - AB) = AB = BN.
\]

6. Xét tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC\), chúng ta cần chứng minh rằng hai tam giác này có độ dài cạnh bằng nhau.

7. Xét tam giác \(AMD\):
\[
AD = DM, \text{ theo giả thiết}.
\]

8. Xét tam giác \(BNC\):
\[
AB = BN, \text{ theo giả thiết}.
\]

9. Vì \(M\) và \(N\) nằm trên các đoạn \(AB\) và \(AD\) theo cách xác định, các cạnh tương ứng của các tam giác \(AMD\) và \(BNC\) có độ dài bằng nhau.

10. Sử dụng tính chất hình bình hành, chúng ta thấy rằng:
\[
AD \parallel BC, \text{ do đó các điểm } A, D, C, B \text{ nằm trên các cạnh song song}.
\]

11. Vì \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) sao cho \(AD = DM\), và \(N\) là điểm chia đoạn \(AD\) sao cho \(AB = BN\), nên khi kéo dài các đoạn thẳng này và sử dụng tính chất của các cạnh song song trong hình bình hành, ta thấy rằng các điểm chia đoạn thẳng sẽ tạo ra các tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau.

12. Từ đây, suy ra rằng:
\[
CM = CN, \text{ vì } CM \text{ và } CN \text{ là các đoạn thẳng nối từ } C \text{ đến các điểm tương ứng trên các cạnh đối diện của hình bình hành với các tam giác có cạnh tương ứng bằng nhau}.
\]

Do đó, ta chứng minh được rằng:
\[
CM = CN.
\]

1. Xét hình bình hành ABCDABCD, ta có AB∥CDAB∥CD và AD∥BCAD∥BC, do đó AB=CDAB=CD và AD=BCAD=BC.

2. Điểm MM nằm trên đoạn ABAB sao cho AD=DMAD=DM:
M chia đoạn AB thành hai đoạn AM và MB, mà AD=DM.M chia đoạn AB thành hai đoạn AM và MB, mà AD=DM.

3. Điểm NN nằm trên đoạn ADAD sao cho AB=BNAB=BN:
N chia đoạn AD thành hai đoạn AN và ND, mà AB=BN.N chia đoạn AD thành hai đoạn AN và ND, mà AB=BN.

4. Vì AD=DMAD=DM, suy ra:
AM=AB−MB=AB−(AB−AD)=AD=DM.AM=AB−MB=AB−(AB−AD)=AD=DM.

5. Từ AB=BNAB=BN, suy ra:
AN=AD−ND=AD−(AD−AB)=AB=BN.AN=AD−ND=AD−(AD−AB)=AB=BN.

6. Xét tam giác AMDAMD và tam giác BNCBNC, chúng ta cần chứng minh rằng hai tam giác này có độ dài cạnh bằng nhau.

7. Xét tam giác AMDAMD:
AD=DM, theo giả thiết.AD=DM, theo giả thiết.

8. Xét tam giác BNCBNC:
AB=BN, theo giả thiết.AB=BN, theo giả thiết.

9. Vì MM và NN nằm trên các đoạn ABAB và ADAD theo cách xác định, các cạnh tương ứng của các tam giác AMDAMD và BNCBNC có độ dài bằng nhau.

10. Sử dụng tính chất hình bình hành, chúng ta thấy rằng:
AD∥BC, do đó các điểm A,D,C,B nằm trên các cạnh song song.AD∥BC, do đó các điểm A,D,C,B nằm trên các cạnh song song.

11. Vì MM là điểm chia đoạn ABAB sao cho AD=DMAD=DM, và NN là điểm chia đoạn ADAD sao cho AB=BNAB=BN, nên khi kéo dài các đoạn thẳng này và sử dụng tính chất của các cạnh song song trong hình bình hành, ta thấy rằng các điểm chia đoạn thẳng sẽ tạo ra các tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau.

12. Từ đây, suy ra rằng:
CM=CN, vì CM và CN là các đoạn thẳng nối từ C đến các điểm tương ứng trên các cạnh đối diện của hình bình hành với các tam giác có cạnh tương ứng bằng nhau.CM=CN, vì CM và CN là các đoạn thẳng nối từ C đến các điểm tương ứng trên các cạnh đối diện của hình bình hành với các tam giác có cạnh tương ứng bằng nhau.

Do đó, ta chứng minh được rằng:
CM=CN.