Để tính giá trị của biểu thức \( E = \sin 36^\circ \cos 6^\circ \sin 126^\circ \cos 84^\circ \), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác.

### Bước 1: Sử dụng các công thức lượng giác

1. **Chuyển đổi góc trong biểu thức:**

\[
\sin 126^\circ = \sin (180^\circ - 54^\circ) = \sin 54^\circ
\]
\[
\cos 84^\circ = \sin (90^\circ - 84^\circ) = \sin 6^\circ
\]

2. **Thay vào biểu thức:**

\[
E = \sin 36^\circ \cos 6^\circ \sin 54^\circ \sin 6^\circ
\]

3. **Sử dụng công thức nhân của hai hàm lượng giác:**

\[
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)]
\]

Áp dụng cho \(\sin 54^\circ \sin 6^\circ\):

\[
\sin 54^\circ \sin 6^\circ = \frac{1}{2} [\cos (54^\circ - 6^\circ) - \cos (54^\circ + 6^\circ)]
\]
\[
\sin 54^\circ \sin 6^\circ = \frac{1}{2} [\cos 48^\circ - \cos 60^\circ]
\]
\[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\sin 54^\circ \sin 6^\circ = \frac{1}{2} [\cos 48^\circ - \frac{1}{2}]
\]

4. **Sử dụng công thức:

\[
\sin 36^\circ \cos 6^\circ \sin 54^\circ \sin 6^\circ
\]

Áp dụng cho \(\sin 36^\circ \cos 6^\circ\):

\[
\sin 36^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} [\sin (36^\circ + 6^\circ) + \sin (36^\circ - 6^\circ)]
\]
\[
\sin 36^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} [\sin 42^\circ + \sin 30^\circ]
\]
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\sin 36^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} [\sin 42^\circ + \frac{1}{2}]
\]

5. **Tính giá trị của \( E \):**

\[
E = \frac{1}{2} [\sin 42^\circ + \frac{1}{2}] \cdot \frac{1}{2} [\cos 48^\circ - \frac{1}{2}]
\]

Tính toán sẽ cho kết quả:

\[
E = \frac{1}{4} \left[ \sin 42^\circ \cos 48^\circ - \frac{1}{2} (\sin 42^\circ + \cos 48^\circ) + \frac{1}{4} \right]
\]

Áp dụng các giá trị lượng giác cụ thể:

\[
E = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}
\]

### Kết luận

Sau khi áp dụng các công thức lượng giác và tính toán, giá trị cuối cùng của biểu thức \( E \) là:

\[
E = \frac{1}{16}
\]