Để tìm tất cả các giá trị của số thực \(a\) sao cho giao của hai khoảng \((- \infty, 9a) \cap \left( \frac{4}{a}, + \infty \right) \neq \emptyset\), ta cần làm rõ điều kiện nào cho hai khoảng này giao nhau.

### Phân Tích Các Khoảng

1. **Khoảng đầu tiên: \((- \infty, 9a)\)**
- Đây là khoảng từ âm vô cực đến \(9a\).

2. **Khoảng thứ hai: \(\left( \frac{4}{a}, + \infty \right)\)**
- Đây là khoảng từ \(\frac{4}{a}\) đến dương vô cực.

### Điều kiện Giao Nhau

Giao của hai khoảng này \((- \infty, 9a) \cap \left( \frac{4}{a}, + \infty \right)\) không rỗng khi và chỉ khi phần chung của hai khoảng này tồn tại. Điều này xảy ra khi:
\[ \frac{4}{a} < 9a \]

### Giải Inequality

Để tìm điều kiện cho \(a\), giải bất phương trình sau:
\[ \frac{4}{a} < 9a \]

#### Phân Tích Theo Các Trường Hợp

1. **Trường hợp \(a > 0\):**

- Nhân cả hai vế của bất phương trình với \(a\) (vì \(a > 0\), việc nhân này không làm thay đổi chiều của bất phương trình):
\[ 4 < 9a^2 \]
- Chia cả hai vế cho 9:
\[ \frac{4}{9} < a^2 \]
- Lấy căn bậc hai hai vế:
\[ \sqrt{\frac{4}{9}} < |a| \]
- Tìm căn bậc hai:
\[ \frac{2}{3} < |a| \]
- Vì \(a > 0\), ta có:
\[ a > \frac{2}{3} \]

2. **Trường hợp \(a < 0\):**

- Nhân cả hai vế của bất phương trình với \(a\) (vì \(a < 0\), việc nhân này làm đảo ngược chiều của bất phương trình):
\[ 4 > 9a^2 \]
- Chia cả hai vế cho 9:
\[ \frac{4}{9} > a^2 \]
- Lấy căn bậc hai hai vế:
\[ \sqrt{\frac{4}{9}} > |a| \]
- Tìm căn bậc hai:
\[ \frac{2}{3} > |a| \]
- Vì \(a < 0\), ta có:
\[ -\frac{2}{3} < a < 0 \]

### Kết Luận

Tất cả các giá trị của \(a\) mà \((- \infty, 9a) \cap \left( \frac{4}{a}, + \infty \right) \neq \emptyset\) là:

\[ a \in \left( -\frac{2}{3}, 0 \right) \cup \left( \frac{2}{3}, +\infty \right) \]