Để giải phương trình \( 2 \sin(2x - 15^\circ) = \sqrt{2} \), với \( x \) trong khoảng \( 0^\circ \leq x \leq 120^\circ \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình cơ bản

1. **Chia cả hai bên phương trình cho 2:**

\[
\sin(2x - 15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

2. **Tìm nghiệm của hàm sin:**

Biết rằng \(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(\theta = 45^\circ + 360^\circ k\) hoặc \(\theta = 135^\circ + 360^\circ k\), với \(k\) là số nguyên.

Do đó:

\[
2x - 15^\circ = 45^\circ + 360^\circ k
\]

hoặc

\[
2x - 15^\circ = 135^\circ + 360^\circ k
\]

### Bước 2: Giải các phương trình

1. **Giải phương trình đầu tiên:**

\[
2x - 15^\circ = 45^\circ + 360^\circ k
\]

Thay đổi hằng số để có \(x\):

\[
2x = 45^\circ + 15^\circ + 360^\circ k
\]

\[
2x = 60^\circ + 360^\circ k
\]

\[
x = 30^\circ + 180^\circ k
\]

Với \(k = 0\):

\[
x = 30^\circ
\]

Với \(k = 1\):

\[
x = 210^\circ
\]

Tuy nhiên, \(210^\circ\) không nằm trong khoảng \(0^\circ \leq x \leq 120^\circ\).

2. **Giải phương trình thứ hai:**

\[
2x - 15^\circ = 135^\circ + 360^\circ k
\]

Thay đổi hằng số để có \(x\):

\[
2x = 135^\circ + 15^\circ + 360^\circ k
\]

\[
2x = 150^\circ + 360^\circ k
\]

\[
x = 75^\circ + 180^\circ k
\]

Với \(k = 0\):

\[
x = 75^\circ
\]

Với \(k = 1\):

\[
x = 255^\circ
\]

Tuy nhiên, \(255^\circ\) không nằm trong khoảng \(0^\circ \leq x \leq 120^\circ\).

### Kết luận:

Trong khoảng \(0^\circ \leq x \leq 120^\circ\), nghiệm của phương trình \(2 \sin(2x - 15^\circ) = \sqrt{2}\) là:

\[
x = 30^\circ \text{ và } x = 75^\circ
\]