Để giải các bài toán liên quan đến hình chóp \( S.ABCD \), ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### Phần a: Tính thể tích khối chóp \( S.ABCD \)

**Dữ liệu:**

- \(ABCD\) là hình vuông với cạnh dài 3 cm.
- \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(ABCD\) và \(SA = 2\) cm.

**Giải:**

1. **Tính diện tích mặt đáy:**

Mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh dài 3 cm. Diện tích của hình vuông là:

\[
\text{Diện tích mặt đáy} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ cm}^2
\]

2. **Tính thể tích khối chóp:**

Công thức tính thể tích của hình chóp có đáy là hình vuông và chiều cao vuông góc với mặt đáy là:

\[
V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích mặt đáy} \times \text{Chiều cao}
\]

Thay số vào công thức:

\[
V = \frac{1}{3} \times 9 \times 2 = 6 \text{ cm}^3
\]

Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(6 \text{ cm}^3\).

### Phần b: Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt \(SBC\) và góc giữa mặt \(SBC\) và mặt \(ABCD\)

**Dữ liệu:**

- Diện tích mặt đáy là hình vuông với cạnh dài 3 cm.
- \(SA\) vuông góc với mặt đáy và dài 2 cm.

**Giải:**

1. **Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt \(SBC\):**

Để tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt \(SBC\), ta sử dụng định lý trong hình chóp vuông. Trong trường hợp này, mặt \(SBC\) là mặt tam giác, và khoảng cách từ \(A\) đến mặt tam giác này chính là chiều cao của hình chóp từ điểm \(A\) xuống mặt \(SBC\).

Đầu tiên, ta tính diện tích của tam giác \(SBC\) bằng cách tính diện tích tam giác với cạnh đáy là cạnh của hình vuông và chiều cao là độ dài của cạnh \(SA\):

- Diện tích tam giác \(SBC\):

Diện tích tam giác \(SBC\) có đáy \(BC = 3 \text{ cm}\) và chiều cao là \(SA = 2 \text{ cm}\):

\[
\text{Diện tích tam giác } SBC = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ cm}^2
\]

- Khoảng cách từ \(A\) đến mặt \(SBC\) là chiều cao của tam giác \(SBC\) tính từ điểm \(A\). Diện tích của tam giác \(SBC\) được tính bằng:

\[
\text{Diện tích tam giác } SBC = \frac{1}{2} \times BC \times \text{Khoảng cách từ } A \text{ đến mặt } SBC
\]

Ta có:

\[
3 = \frac{1}{2} \times 3 \times \text{Khoảng cách từ } A \text{ đến mặt } SBC
\]

Suy ra:

\[
\text{Khoảng cách từ } A \text{ đến mặt } SBC = \frac{3}{\frac{1}{2} \times 3} = 2 \text{ cm}
\]

2. **Tính góc giữa mặt \(SBC\) và mặt \(ABCD\):**

- Mặt \(ABCD\) là mặt đáy, vì vậy góc giữa mặt \(SBC\) và mặt đáy chính là góc giữa mặt nghiêng \(SBC\) và mặt đáy \(ABCD\).
- Để tính góc này, ta sử dụng thông tin rằng \(S\) là điểm trên trục thẳng đứng của hình chóp. Mặt \(SBC\) là tam giác vuông tại \(S\), với cạnh \(SB\) và \(SC\) nằm trên mặt đáy \(ABCD\).

Ta có thể tính góc này bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(SBC\):

- Cạnh \(SB\) và \(SC\) đều dài 3 cm.
- Chiều cao \(SA\) từ đỉnh \(S\) vuông góc với mặt đáy \(ABCD\) là 2 cm.

Góc giữa mặt nghiêng và mặt đáy chính là góc của tam giác vuông \(SBC\) tại đỉnh \(S\), có thể tính bằng:

\[
\tan \theta = \frac{\text{Chiều cao}}{\text{Cạnh đáy}}
\]

Với \(\text{Chiều cao} = 2 \text{ cm}\) và \(\text{Cạnh đáy} = 3 \text{ cm}\):

\[
\tan \theta = \frac{2}{3}
\]

Do đó:

\[
\theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right)
\]

Tính giá trị góc:

\[
\theta \approx 33.69^\circ
\]

### Kết luận

- **a.** Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(6 \text{ cm}^3\).
- **b.** Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt \(SBC\) là \(2 \text{ cm}\). Góc giữa mặt \(SBC\) và mặt đáy \(ABCD\) là khoảng \(33.69^\circ\).