Chúng ta sẽ giải bài toán này từng bước một:

a. Tính AC và AD
1.
Tính AC:
• Tam giác ABC vuông tại A, nên áp dụng định lý Pythagoras:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$10^2 = 6^2 + AC^2$
$100 = 36 + AC^2$
$AC^2 = 64$
$AC = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

1.
Tính AD:
• Sử dụng định lý phân giác trong tam giác:

$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$
Gọi (AD = x) và (DC = 8 - x), ta có:
$\frac{x}{8 - x} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$5x = 3(8 - x)$
$5x = 24 - 3x$
$8x = 24$
$10^2 = 6^2 + AC^2$0
Vậy (AD = 3 \text{ cm}).

b. Chứng minh (BD \cdot BE = BA \cdot BC)
1.
Chứng minh:
• Gọi (E) là hình chiếu của (C) trên (BD).

• Trong tam giác vuông (ABC), (BD) là phân giác nên:

$10^2 = 6^2 + AC^2$1
• Sử dụng định lý hình chiếu:

$10^2 = 6^2 + AC^2$2

c. Chứng minh (\angle EAB = \angle CDB)
1.
Chứng minh:
• Xét tam giác (ABE) và (CDB):

• (\angle AEB = \angle CDB = 90^\circ)

• (\angle EAB = \angle CDB) (do (BD) là phân giác)

• Vậy (\angle EAB = \angle CDB).

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào hoặc cần giải thích thêm, hãy cho tôi biết nhé!

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2

⇔AC2=BC2−AB2=102−62=64⇔AC2=BC2−AB2=102−62=64

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên ADAB=CDBCABAD​=BCCD​(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay AD6=CD106AD​=10CD​

mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

AD6=CD10=AD+CD6+10=AC16=816=126AD​=10CD​=6+10AD+CD​=16AC​=168​=21​

Do đó:

{AD6=12CD10=12⇔{AD=3(cm)CD=5(cm)⎩⎨⎧​6AD​=21​10CD​=21​​⇔{AD=3(cm)CD=5(cm)​

Vậy: AC=8cm; AD=3cm; CD=5cm