Để lấy đạo hàm của biểu thức \(\frac{x^2 + (m - 1)x + 1}{x + m - 1}\), ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của một phân số. Quy tắc này được cho bởi công thức:

\[
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Trong đó:
- \(u(x) = x^2 + (m - 1)x + 1\)
- \(v(x) = x + m - 1\)

Ta cần tìm đạo hàm của từng phần:
- \(u'(x) = 2x + (m - 1)\)
- \(v'(x) = 1\)

Áp dụng công thức trên:

\[
\left(\frac{x^2 + (m - 1)x + 1}{x + m - 1}\right)' = \frac{(2x + m - 1)(x + m - 1) - (x^2 + (m - 1)x + 1) \cdot 1}{(x + m - 1)^2}
\]

Bây giờ, hãy đơn giản hóa tử số:

\[
(2x + m - 1)(x + m - 1) = 2x^2 + 2xm - 2x + xm + m^2 - m - x - m + 1
\]
\[
= 2x^2 + (2m - 3)x + m^2 - 2m + 1
\]

Vậy tử số của đạo hàm là:

\[
2x^2 + (2m - 3)x + m^2 - 2m + 1 - (x^2 + (m - 1)x + 1)
\]

Tiếp tục đơn giản hóa:

\[
= 2x^2 + (2m - 3)x + m^2 - 2m + 1 - x^2 - (m - 1)x - 1
\]
\[
= x^2 + (2m - 3 - m + 1)x + m^2 - 2m + 1 - 1
\]
\[
= x^2 + (m - 2)x + m^2 - 2m
\]

Vậy đạo hàm của biểu thức là:

\[
\frac{x^2 + (m - 2)x + m^2 - 2m}{(x + m - 1)^2}
\]

Đây là kết quả đạo hàm của biểu thức \(\frac{x^2 + (m - 1)x + 1}{x + m - 1}\).