Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( KA \) cắt đoạn thẳng \( DM \) tại trung điểm của \( DM \) (điểm \( N \)), trước tiên cần xác định các vị trí của các điểm trong hình vuông \( ABCD \) và các điểm \( E \), \( F \), \( K \).

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ
Giả sử hình vuông \( ABCD \) có các đỉnh như sau:
- \( A(0, 1) \)
- \( B(1, 1) \)
- \( C(1, 0) \)
- \( D(0, 0) \)

Từ mô tả trên:
- \( E \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( AE = EB \), do đó \( E\left(\frac{1}{2}, 1\right) \).
- \( F \) là điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BF = FC \), do đó \( F\left(1, \frac{1}{2}\right) \).
- \( K \) là điểm trên cạnh \( CD \) sao cho \( KC = KD \), do đó \( K\left(\frac{1}{2}, 0\right) \).

### Bước 2: Tính tọa độ điểm \( M \)
Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( AD \) và là trung điểm của \( AD \):
- Tọa độ điểm \( M(0, \frac{1}{2}) \).

### Bước 3: Tính tọa độ điểm \( N \) - trung điểm của \( DM \)
Tọa độ điểm \( N \) nằm giữa \( D \) và \( M \):
- Tọa độ điểm \( N = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2} \right) = \left( 0, \frac{1}{4} \right) \).

### Bước 4: Xác định phương trình các đoạn thẳng
- Phương trình đoạn thẳng \( KA \):
- Đổi vị trí điểm \( K( \frac{1}{2}, 0) \) và \( A(0, 1) \):
\[
y - 0 = \frac{1 - 0}{0 - \frac{1}{2}} \left( x - \frac{1}{2}\right)
\]
\[
y = -2x + 1
\]

- Phương trình đoạn thẳng \( DM \):
- Đổi vị trí điểm \( D(0, 0) \) và \( M(0, \frac{1}{2}) \):
\[
x = 0
\]

### Bước 5: Tìm giao điểm \( K\) và \( D\)
Để tìm giao điểm của \( KA \) và \( DM \), giải phương trình:
1. Đặt \( x = 0 \) vào phương trình \( KA \):
\[
y = -2(0) + 1 = 1
\]

Kết quả giao điểm là:
\[
(0, 1)
\]

### Kết luận:
Giả sử chiều cao từ \( K \) xuống \( AB \) trùng với chiều cao từ \( K \) xuống \( DM \), ta đã chứng minh được rằng \( KA \) cắt \( DM \) tại điểm \( N \) (trung điểm của \( DM \)).

=> **Điểm N là trung điểm của đoạn DM**.