Để xác định hình dạng của tam giác \(ABC\) dựa trên điều kiện \(c^2 \sin(2A) + a^2 \sin(2C) = b^2 \cot\left(\frac{B}{2}\right)\), ta phân tích các yếu tố đặc trưng của tam giác liên quan đến điều kiện này.

### 1. **Xem xét từng điều kiện**

- **Biến đổi \( \sin(2A) \) và \( \sin(2C) \)**:
- Ta có công thức: \( \sin(2A) = 2 \sin A \cos A \) và \( \sin(2C) = 2 \sin C \cos C \).

Do đó:
\[ c^2 \sin(2A) = c^2 \cdot 2 \sin A \cos A \]
\[ a^2 \sin(2C) = a^2 \cdot 2 \sin C \cos C \]

- **Biến đổi \( \cot\left(\frac{B}{2}\right) \)**:
- Ta có \( \cot\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{B}{2}\right)} \).

Một tính chất của tam giác là: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) và \( \cot \left( \frac{B}{2} \right) = \frac{a + b + c}{a - b + c} \), trong đó \(a, b, c\) lần lượt là các cạnh đối diện các góc \(A, B, C\).

### 2. **Phân tích và so sánh**

Xét các trường hợp đặc biệt để đơn giản hóa và xác định loại tam giác:

- **Tam giác đều**:
- Khi \( \triangle ABC \) đều, tất cả các góc bằng \( 60^\circ \). Khi đó \( A = B = C = 60^\circ \) và \( \sin(2A) = \sin(2C) = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Đồng thời, \( \cot\left(\frac{B}{2}\right) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3} \).
- Ta cần kiểm tra xem công thức có đúng với tam giác đều không. Thực tế, đối với tam giác đều, các điều kiện đối xứng và các giá trị hàm lượng giác phù hợp với công thức đã cho.

- **Tam giác vuông**:
- Nếu tam giác vuông, một trong các góc \( A, B, C \) là \(90^\circ\). Tuy nhiên, ta có:
- \( \sin(2A) \) hoặc \( \sin(2C) \) sẽ bằng 0 nếu \(A\) hoặc \(C\) là góc vuông, dẫn đến vế trái của phương trình bằng 0, trong khi vế phải \( b^2 \cot\left(\frac{B}{2}\right) \) sẽ không bằng 0 trừ khi \( b = 0 \), điều này không thỏa mãn cho tam giác.

Vì vậy, ta có thể loại trừ khả năng tam giác vuông và xem xét tam giác đều là trường hợp duy nhất thỏa mãn.

### 3. **Kết luận**

Tam giác \(ABC\) là **tam giác đều**. Điều này là do tam giác đều sẽ thỏa mãn mọi tính chất được đề cập: các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau và các giá trị hàm lượng giác như \(\sin(2A), \sin(2C), \cot\left(\frac{B}{2}\right)\) đều phù hợp với phương trình đã cho.