Để tìm \(x, y, z, t\) trong phương trình \(x^y + x^z = x^t\), ta cần xác định các giá trị của các biến sao cho phương trình này đúng. Dưới đây là các bước và một số trường hợp phổ biến có thể xảy ra:

### 1. **Trường hợp đặc biệt: \(x = 0\)**

- Nếu \(x = 0\), thì phương trình trở thành:
\[0^y + 0^z = 0^t\]

Với \(y, z, t \neq 0\), ta có \(0 + 0 = 0\), điều này đúng với mọi giá trị của \(y, z, t\). Nhưng nếu \(y, z, t = 0\), phương trình trở thành \(1 + 1 = 1\) (vì \(0^0\) thường được định nghĩa là 1), điều này không đúng. Vì vậy, trường hợp \(x = 0\) và \(y = 0, z = 0\) hoặc \(t = 0\) không được chấp nhận.

### 2. **Trường hợp đặc biệt: \(x = 1\)**

- Nếu \(x = 1\), phương trình trở thành:
\[1^y + 1^z = 1^t\]

Với mọi giá trị của \(y, z, t\), ta luôn có \(1 + 1 = 1\), điều này không đúng trừ khi \(t\) bằng 0, và \(y, z = 0\). Vì \(1^n = 1\) với mọi số nguyên \(n\), trường hợp này cho phép \(y, z\) và \(t\) nhận mọi giá trị số nguyên không cần điều kiện.

### 3. **Trường hợp tổng quát: \(x \neq 0, 1\)**

- Ta có thể viết lại phương trình ban đầu:
\[x^y + x^z = x^t\]

**Phân tích các trường hợp:**

- **Khi \(y = z\)**: Ta có \(x^y + x^y = x^t\) hay \(2x^y = x^t\).
- Ta suy ra \(2 = x^{t-y}\), vì \(x \neq 1\), ta có \(t = y + \log_x 2\).

- **Khi \(y \neq z\)**: Chia cả hai vế cho \(x^z\) (giả sử \(y > z\)) ta được:
\[x^{y-z} + 1 = x^{t-z}\]

Đặt \(k = y - z\) và \(m = t - z\), ta có:
\[x^k + 1 = x^m\]

Trong trường hợp này, \(x^k\) và \(x^m\) phải là các số nguyên, ta phải giải phương trình này cho \(x, k, m\).

Vì \(x^k + 1 = x^m\), ta có thể phân tích tiếp, nhưng đây là một bài toán phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \(x\). Chẳng hạn, nếu \(x = 2\), \(x^k + 1 = x^m\) sẽ trở thành \(2^k + 1 = 2^m\) và ta cần kiểm tra các giá trị của \(k, m\) để phương trình đúng.

### **Kết luận:**
- Nếu \(x = 0\), phương trình đúng với \(y, z, t\) khác 0.
- Nếu \(x = 1\), phương trình đúng với mọi giá trị của \(y, z, t\).
- Nếu \(x \neq 0, 1\), ta cần xem xét các trường hợp cụ thể và tìm giá trị phù hợp cho \(y, z, t\).

Trong trường hợp tổng quát, \(y, z, t\) phụ thuộc vào \(x\) và phương trình có thể có nhiều nghiệm khác nhau.