Để phương trình \( x^3 - 3x - m - 2 = 0 \) có ba nghiệm phân biệt, ta cần đảm bảo rằng đồ thị của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x - m - 2 \) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Trước tiên, ta xét đạo hàm của hàm số:
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \]

Đạo hàm \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm \( x = 1 \) và \( x = -1 \), cho thấy rằng hàm số \( f(x) \) có hai điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị này:
\[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 - m - 2 = 1 - 3 - m - 2 = -4 - m \]
\[ f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - m - 2 = -1 + 3 - m - 2 = 0 - m = -m \]

Để phương trình \( f(x) = 0 \) có ba nghiệm phân biệt, giá trị của hàm số tại các điểm cực trị phải có dấu trái ngược nhau, tức là:
\[ f(1) \cdot f(-1) < 0 \]

Nghĩa là:
\[ (-4 - m)(-m) < 0 \]

Giải bất phương trình:
\[ 4m + m^2 < 0 \]
\[ m(m + 4) < 0 \]

Điều này đúng khi:
\[ -4 < m < 0 \]

Vậy, giá trị của \( m \) để phương trình \( x^3 - 3x - m - 2 = 0 \) có ba nghiệm phân biệt là:
\[ -4 < m < 0 \]