1. Chứng minh \( AD = AE \)

Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và góc \( \angle A \) nhọn (nhỏ hơn 90 độ), nên hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau, tức là:
\[ AB = AC \]

Đường cao \( BD \) và \( CE \) là các đường vuông góc với \( AC \) và \( AB \) tại các điểm \( D \) và \( E \) tương ứng. Do đó, \( BD \) và \( CE \) là các đường cao của tam giác cân \( ABC \), mà trong tam giác cân, các đường cao, trung tuyến và phân giác từ đỉnh đều trùng nhau và chia các cạnh đáy thành các đoạn bằng nhau.

Vì vậy, \( AD \) và \( AE \) là các đoạn trung tuyến, phân giác và đường cao từ đỉnh \( A \) xuống \( BC \), và chúng bằng nhau. Nói cách khác, \( AD \) và \( AE \) là các đoạn từ đỉnh của tam giác cân đến hai bên của tam giác cân, nên chúng bằng nhau:
\[ AD = AE \]

### 2. Chứng minh tam giác \( \triangle HBE \) bằng tam giác \( \triangle HCD \)

Xét hai tam giác \( \triangle HBE \) và \( \triangle HCD \):

- Cạnh \( HE \) và \( HD \) là các đường cao tương ứng từ \( B \) và \( C \) đến \( AC \) và \( AB \), do đó \( HE \parallel AB \) và \( HD \parallel AC \).

- Góc \( \angle EHB \) và \( \angle DHC \) bằng nhau vì chúng là các góc đối đỉnh (do \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \)).

- Tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \), điều này dẫn đến \( BD = CE \).

Do đó, hai tam giác \( \triangle HBE \) và \( \triangle HCD \) có:

1. Cạnh \( HB = HC \) (các đoạn vuông góc từ \( H \) tới \( AB \) và \( AC \)).
2. Cạnh \( BE = CD \) (các đoạn thẳng từ \( B \) và \( C \) tới các đường cao \( BD \) và \( CE \)).
3. Góc \( \angle EHB = \angle DHC \) (góc đối đỉnh).

Theo các điều kiện trên, ta có \( \triangle HBE \) bằng \( \triangle HCD \) theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c):
\[ \triangle HBE \cong \triangle HCD \]

Do đó, hai tam giác này bằng nhau, tức là có các cạnh và góc tương ứng bằng nhau.