Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \ln(\sqrt{x^2 + 3x - 4}) \), ta cần sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc đạo hàm của hàm logarit.

Bắt đầu bằng việc viết lại hàm số \( y \) dưới dạng dễ đạo hàm hơn:
\[ y = \ln\left(\sqrt{x^2 + 3x - 4}\right) = \ln\left((x^2 + 3x - 4)^{1/2}\right) \]

Sử dụng tính chất của logarit:
\[ \ln(a^b) = b \ln(a) \]

Ta có:
\[ y = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 3x - 4) \]

Bây giờ, ta đạo hàm \( y \) theo \( x \):
\[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \ln(x^2 + 3x - 4) \right] \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm logarit:
\[ \frac{d}{dx} \left[ \ln(u) \right] = \frac{u'}{u} \]

Với \( u = x^2 + 3x - 4 \), ta có \( u' = 2x + 3 \).

Áp dụng vào:
\[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{u'}{u} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 4} \]

Sắp xếp lại biểu thức:
\[ y' = \frac{2x + 3}{2(x^2 + 3x - 4)} \]

Vậy, đạo hàm của hàm số \( y = \ln(\sqrt{x^2 + 3x - 4}) \) là:
\[ y' = \frac{2x + 3}{2(x^2 + 3x - 4)} \]