Để tìm giá trị của \( T = 2\cos\alpha + 4\sin\alpha \) khi \(\cos^2\alpha = \frac{4}{5}\) và \(\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính \(\cos \alpha\) và \(\sin \alpha\)

Biết rằng:
\[
\cos^2\alpha = \frac{4}{5}
\]

Ta có:
\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
vì \(\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})\) thì \(\cos \alpha > 0\).

Sử dụng định lý Pythagoras cho sin:
\[
\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
\]
\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
vì \(\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})\) thì \(\sin \alpha > 0\).

### 2. Tính giá trị của \(T\)

Thay các giá trị tính được vào biểu thức \( T = 2 \cos \alpha + 4 \sin \alpha \):
\[
T = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
\[
T = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{4}{\sqrt{5}}
\]
\[
T = \frac{4 + 4}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}
\]

### 3. Đưa về dạng chuẩn

Để đưa về dạng chuẩn hơn, nhân và chia cho \(\sqrt{5}\):
\[
T = \frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}
\]

### Kết quả

Giá trị của \( T \) là:
\[
T = \frac{8 \sqrt{5}}{5}
\]